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三角関数の定義を用いた第二の余弦定理の証明

公式

上に示された三角形について、次の式が成り立ち、これを第2の余弦定理^{law of cosines}と呼ぶ。

$$\begin{cases} a^{2} =b^{2}+c^{2}-2bc\cos\alpha \\ b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos\beta \\ c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos\gamma \end{cases}$$

証明

図の左上の三角形から、以下の式を得る。

$$\begin{align} a &= \overline{BH_{a}}+\overline{H_{a}C} \nonumber \\ &= c\cos\beta + b\cos\gamma \label{eq1} \end{align}$$

両辺に$a$を掛けると、次のようになる。

$$a^{2}=ac\cos\beta + ab\cos \gamma$$

$b$と$c$についても同様に、以下の結果を得ることができる。

$$\begin{align} && b &= \overline{AH_{b}}+\overline{H_{b}C} \nonumber \\ && &= c\cos\alpha + a\cos\gamma \label{eq2} \\ && \implies b^{2}&=bc\cos\alpha + ab\cos\gamma \nonumber \end{align}$$

$$\begin{align} &&c &= \overline{AH_{c}}+\overline{H_{c}B} \nonumber \\ && &= b\cos\alpha + a\cos\beta \label{eq3} \\ \implies &&c^{2}&=bc\cos\alpha + ac\cos\beta \nonumber \end{align}$$

したがって、以下の結果を得る。

$$\begin{align*} b^{2}+c^{2} &= (bc\cos\alpha + ab\cos\gamma) + (bc\cos\alpha + ac\cos\beta) \\ &= (ab\cos\gamma+ ac\cos\beta)+2bc\cos\alpha \\ &= a^{2}+2bc\cos\alpha \end{align*}$$

$a^{2}$について整理すると、以下のようになる。

$$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos\alpha$$

$b^{2}$、$c^{2}$についても同じ方法で証明できる。

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$(1)$, $(2)$, $(3)$をまとめて第1の余弦定理とも呼ぶ。