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フーリエ級数の導出 📂フーリエ解析

フーリエ級数の導出

定義

2L2L-周期関数 ffに対して次のような級数を ffのフーリエ級数Fourier series of ffと定義する。

lim⁡N→∞SNf(t)=lim⁡N→∞[a02+∑n=1N(ancos⁡nπtL+bnsin⁡nπtL)]=a02+∑n=1∞(ancos⁡nπtL+bnsin⁡nπtL) \begin{align*} \lim \limits_{N \rightarrow \infty} S^{f}_{N}(t) &= \lim \limits_{N \to \infty}\left[ \dfrac{a_{0}}{2}+\sum \limits_{n=1}^{N} \left( a_{n} \cos \dfrac{n\pi t}{L} + b_{n}\sin\dfrac{n\pi t}{L} \right) \right] \\ &= \dfrac{a_{0}}{2}+\sum \limits_{n=1}^{\infty} \left( a_{n} \cos \dfrac{n\pi t}{L} + b_{n}\sin\dfrac{n\pi t}{L} \right) \end{align*}

この時、各々の係数 a0,an,bna_{0}, a_{n}, b_{n}を フーリエ係数Fourier coefficientと言い、値は次のようになる。

a0=1L∫−LLf(t)dtan=1L∫−LLf(t)cos⁡nπtLdtbn=1L∫−LLf(t)sin⁡nπtLdt \begin{align*} \\ a_{0} &=\dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(t)dt \\ a_{n} &= \dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(t)\cos\dfrac{n\pi t}{L} dt \\ b_{n} &=\dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(t)\sin \dfrac{n\pi t}{L}dt \end{align*}

説明

フーリエ級数は任意の関数を三角関数の級数展開で表現するもので、フランスの数学者 ジョセフ・フーリエJoseph Fourierが熱方程式を解くために考案したことでよく知られている。任意の関数と表現した理由は、ある区間 (a,b)(a,b)で定義された関数があれば、これをCtrl+C, Ctrl+Vして (b−a)(b-a)-周期関数にすることができるからである。

核心原理は互いに直交する三角関数たちの線形結合で表現されることであり、3次元ベクトルにたとえると、(4,−1,7)(4,-1,7)を次のように分けることに似ている。

(4,−1,7)=a1e^1+a2e^1+a3e^1 (4,-1,7) = a_{1}\hat{\mathbf{e}}_{1} + a_{2}\hat{\mathbf{e}}_{1} + a_{3}\hat{\mathbf{e}}_{1}

実際に、ffのフーリエ級数はffとの誤差が非常に小さく、条件がよく満たされれば ffに点ごとに収束する。

f(t)=a02+∑n=1∞(ancos⁡nπtLt+bnsin⁡nπtL) f(t) = \dfrac{a_{0}}{2}+\sum \limits_{n=1}^{\infty} \left( a_{n} \cos \dfrac{n\pi t}{L}t + b_{n}\sin\dfrac{n\pi t}{L} \right)

導出

回帰分析1

  • パート 1

    関数 f(t)f(t)を 1,cos⁡πtL,cos⁡2πtL,⋯ ,sin⁡πtL,sin⁡2πtL,⋯1, \cos \dfrac{\pi t}{L}, \cos\dfrac{2\pi t}{L}, \cdots, \sin \dfrac{\pi t}{L}, \sin \dfrac{2\pi t}{L}, \cdots たちの線形結合で表現することが目的である。したがって、SNf(t)=12α0+∑n=1N(αncos⁡nπtL+βnsin⁡nπtL)S^{f}_{N}(t)=\dfrac{1}{2}{\alpha_{0}}+\sum \limits_{n=1}^{N} \left( \alpha_{n} \cos \dfrac{n \pi t}{L}+\beta_{n}\sin\dfrac{n\pi t}{L} \right)とした時、f(t)f(t)は以下のように表現できる。

    f(t)=SNf(t)+eN(t) f(t)=S^{f}_{N}(t)+e_{N}(t)

    eN(t)e_{N}(t)は f(t)f(t)と近似式 SNf(t)S_{N}^{f} (t)の差である。この差が最も小さくなるSNf(t)S_{N}^{f}(t)を見つければ、それがf(t)f(t)との差が最も小さい級数展開になる。eNe_{N}を 平均二乗誤差mean square error2としよう。

    eN=12L∫−LL[eN(t)]2dt=12L∫−LL[f(t)−SNf(t)]2dt e_{N}=\dfrac{1}{2L}\int_{-L}^{L} [e_{N}(t) ]^{2}dt=\dfrac{1}{2L}\int_{-L}^{L} \left[ f(t)-S^{f}_{N} (t) \right]^{2} dt

  • パート 2

    eN=12L∫−LL[f(t)−SNf(t)]2dt=12L∫−LL[f(t)−12α0−∑n=1N(αncos⁡nπtL+βnsin⁡nπtL)]2dt \begin{align*} e_{N} &= \dfrac{1}{2L}\int_{-L}^{L} \left[ f(t)-S^{f}_{N}(t) \right]^{2} dt \\ &= \dfrac{1}{2L}\int_{-L}^{L} \left[ f(t)-\dfrac{1}{2}{\alpha_{0}}-\sum \limits_{n=1}^{N} \left( \alpha_{n} \cos \dfrac{n \pi t}{L}+\beta_{n}\sin\dfrac{n\pi t}{L} \right) \right]^{2} dt \end{align*}

    平均二乗誤差 eNe_{N}が最小になる時の係数 α0, αn, βn\alpha_0,\ \alpha_{n},\ \beta_{n}をそれぞれ a0a_0, ana_{n}, bnb_{n}としよう。eNe_{N}を最小化する条件は次のようであり、正規方程式normal equationと言われる。

    ∂eN∂α0=0,  ∂eN∂αn=0,  ∂eN∂βn=0(m=1, 2, ⋯ , N) \dfrac{\partial e_{N}}{\partial \alpha_{0}}=0,\ \ \dfrac{\partial e_{N}}{\partial \alpha_{n}}=0,\ \ \dfrac{\partial e_{N}}{\partial \beta_{n}}=0\quad (m=1,\ 2,\ \cdots,\ N)

    それでは、a0a_{0}, ana_{n}, bnb_{n}は以下のように求めることができる。

    • パート 2.1 a0a_{0}

      ∂eN∂α0=12L∫−LL∂∂α0[f(t)−12α0−∑n=1N(αncos⁡nπtL+βnsin⁡nπtL)]2dt=2⋅−12⋅12L∫−LL[f(t)−12α0−∑n=1N(αNcos⁡nπtL+βnsin⁡nπtL)]dt=−12L∫−LLf(t)dt+12L∫−LL12α0dt+12L∫−LL∑n=1N(αncos⁡nπtL+βnsin⁡nπtL)dt=−12L∫−LLf(t)dt+12L∫−LL12α0dt=−12L∫−LLf(t)dt+12α0=0 \begin{align*} \dfrac{\partial e_{N}}{\partial \alpha_{0}} &= \dfrac{1}{2L}\int_{-L}^{L} \dfrac{\partial}{\partial \alpha_{0}} \left[ f(t)-\dfrac{1}{2} {\alpha_{0}}-\sum \limits_{n=1}^{N} \left( \alpha_{n} \cos \dfrac{n \pi t}{L}+\beta_{n}\sin\dfrac{n\pi t}{L} \right) \right]^{2} dt \\ &= 2\cdot \dfrac{-1}{2} \cdot \dfrac{1}{2L} \int_{-L}^{L} \left[ f(t)-\dfrac{1}{2}{\alpha_{0}}-\sum \limits_{n=1}^{N} \left( \alpha_ {N} \cos \dfrac{n \pi t}{L}+\beta_{n}\sin\dfrac {n\pi t}{L} \right) \right] dt \\ &= \dfrac{-1}{2L}\int_{-L}^{L}f(t) dt + \dfrac{1}{2L}\int_{-L}^{L}\dfrac{1}{2}\alpha_{0} dt +\dfrac{1}{2L}\int_{-L}^{L} \sum \limits_ {n=1}^{N}\left( \alpha_{n}\cos \dfrac{n\pi t}{L}+\beta_{n} \sin \dfrac{n \pi t}{L} \right) dt \\ &= \dfrac{-1}{2L}\int_{-L}^{L}f(t) dt + \dfrac{1}{2L}\int_{-L}^{L}\dfrac{1}{2}\alpha_{0} dt \\ &= \dfrac{-1}{2L}\int_{-L}^{L}f(t) dt +\dfrac{1}{2}\alpha_{0} \\ &= 0 \end{align*}

      4番目の等号は三角関数の1周期積分が0であるため成り立つ。したがって

      a0=1L∫−LLf(t)dt a_{0} = \dfrac{1}{L} \int_{-L}^{L}f(t)dt

    • パート 2.2 ana_{n}

      あるm∈{1,2,…,N}m \in \left\{ 1,2,\dots,N \right\}を一つ選ぼう。

      ∂eN∂αm=12L∫−LL∂∂αm[f(t)−12α0−∑n=1N(αncos⁡nπtL+βnsin⁡nπtL)]2dt=2⋅12L∫−LL(−cos⁡mπtL)[f(t)−12α0−∑n=1N(αncos⁡nπtL+βnsin⁡nπtL)]dt=−1L∫−LLf(t)cos⁡mπtLdt+1L∫−LL12α0cos⁡mπtLdt+1L∫−LL∑n=1N(αncos⁡nπtL+βnsin⁡nπtL)cos⁡mπtLdt=−1L∫−LLf(t)cos⁡mπtLdt+1Lαm∫−LLcos⁡mπtLcos⁡mπtLdt=−1L∫−LLf(t)cos⁡mπtLdt+αm=0 \begin{align*} \dfrac{\partial e_{N}}{\partial \alpha_{m}} &= \dfrac{1}{2L}\int_{-L}^{L} \dfrac{\partial}{\partial \alpha_{m}} \left[ f(t)-\dfrac{1}{2} {\alpha_{0}}-\sum \limits_{n=1}^{N} \left( \alpha_{n} \cos \dfrac{n \pi t}{L}+\beta_{n}\sin\dfrac{n\pi t}{L} \right) \right]^{2} dt \\ &= 2\cdot \dfrac{1}{2L} \int_{-L}^{L} \left( - \cos \dfrac{m\pi t}{L} \right)\left[ f(t)-\dfrac{1}{2}{\alpha_{0}}-\sum \limits_{n=1}^ {N} \left( \alpha_{n} \cos \dfrac{n \pi t}{L} +\beta_{n}\sin\dfrac{n\pi t}{L} \right) \right]dt \\ &= -\dfrac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(t)\cos\dfrac{m\pi t}{L} dt +\dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L} \dfrac{1}{2}\alpha_{0}\cos\dfrac{m\pi t}{L} dt \\ &\quad + \dfrac{1}{L} \int_{-L}^{L} \sum \limits_{n=1}^{N} \left( \alpha_{n} \cos \dfrac{n\pi t}{L} + \beta_{n}\sin\dfrac{n\pi t}{L} \right) \cos\dfrac{m\pi t}{L}dt \\ &= -\dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(t)\cos\dfrac{m\pi t}{L} dt + \dfrac{1}{L}\alpha_{m} \int_{-L}^{L}\cos\dfrac{m\pi t}{L}\cos\dfrac{m\pi t} {L} dt\\ &= -\dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(t)\cos\dfrac{m\pi t}{L} dt + \alpha_{m} \\ &= 0 \end{align*}

      4番目、5番目の等号は三角関数の直交性によって成り立つ。したがって

      an=1L∫−LLf(t)cos⁡nπtLdt(n=1,2,⋯ ,N) a_{n}= \dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(t)\cos\dfrac{n\pi t}{L} dt \quad (n=1, 2, \cdots, N)

    • パート 2.3 bnb_{n}

      あるm∈{1,2,…,N}m \in \left\{ 1,2,\dots,N \right\}を一つ選ぼう。

      ∂eN∂βm=12L∫−LL∂∂βm[f(t)−12α0−∑n=1N(αncos⁡nπtL+βnsin⁡nπtL)]2dt=2⋅12L∫−LL(−sin⁡mπtL)[f(t)−12α0−∑n=1N(αncos⁡nπtL+βnsin⁡nπtL)]dt=−1L∫−LLf(t)sin⁡mπtLdt+1L∫−LL12α0sin⁡mπtLdt+1L∫−LL∑n=1N(αncos⁡nπtL+βnsin⁡nπtL)sin⁡mπtLdt=−1L∫−LLf(t)sin⁡mπtLdt+1Lβm∫−LLsin⁡mπtLsin⁡mπtLdt=−1L∫−LLf(t)sin⁡mπtLdt+βm=0 \begin{align*} \dfrac{\partial e_{N}}{\partial \beta_{m}} &= \dfrac{1}{2L}\int_{-L}^{L} \dfrac{\partial}{\partial \beta_{m}} \left[ f(t)-\dfrac{1}{2} {\alpha_{0}}-\sum \limits_{n=1}^{N} \left( \alpha_{n} \cos \dfrac{n \pi t}{L}+\beta_{n}\sin\dfrac{n\pi t}{L} \right) \right]^{2} dt \\ &= 2\cdot \dfrac{1}{2L} \int_{-L}^{L} \left( - \sin \dfrac{m\pi t}{L} \right)\left[ f(t)-\dfrac{1}{2}{\alpha_{0}}-\sum \limits_{n=1}^ {N} \left( \alpha_{n} \cos \dfrac{n \pi t}{L} +\beta_{n}\sin\dfrac{n\pi t}{L} \right) \right]dt \\ &= -\dfrac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(t)\sin\dfrac{m\pi t}{L} dt +\dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L} \dfrac{1}{2}\alpha_{0}\sin\dfrac{m\pi t}{L} dt \\ &\quad +\dfrac{1}{L} \int_{-L}^{L} \sum \limits_{n=1}^{N} \left( \alpha_{n} \cos \dfrac{n\pi t}{L} + \beta_{n}\sin\dfrac{n\pi t}{L} \right) \sin\dfrac{m\pi t}{L}dt \\ &= -\dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(t)\sin\dfrac{m\pi t}{L} dt + \dfrac{1}{L}\beta_{m} \int_{-L}^{L}\sin\dfrac{m\pi t}{L}\sin\dfrac{m\pi t} {L} dt \\ &= -\dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(t)\sin\dfrac{m\pi t}{L} dt + \beta_{m} \\ &=0 \end{align*}

      4番目、5番目の等号は三角関数の直交性によって成り立つ。したがって

      bn=1L∫−LLf(t)sin⁡nπtLdt(n=1,2,⋯ ,N) b_{n}=\dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(t)\sin\dfrac{n\pi t}{L}dt \quad (n=1, 2, \cdots, N)

  • パート 3 ここで得られたa0a_0, ana_{n}, bnb_{n}でf(t)f(t)を表現すると同じになる。

    f(t)=SNf(t)+eN(t)where SNf(t)=a02+∑n=1N(ancos⁡nπtL+bnsin⁡nπtL)a0=1L∫−LLf(t)dtan=1L∫−LLf(t)cos⁡nπtLdtbn=1L∫−LLf(t)sin⁡nπtLdt \begin{align*} f(t) &= S^{f}_{N}(t)+e_{N}(t) \\[1em] \text{where } S^{f}_{N}(t) &= \dfrac{a_{0}}{2}+\sum \limits_{n=1}^{N} \left( a_{n} \cos \dfrac{n\pi t}{L} + b_{n}\sin\dfrac{n\pi t} {L} \right) \\ a_{0} &= \dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(t)dt \\ a_{n} &= \dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(t)\cos\dfrac{n\pi t}{L} dt \\ b_{n} &= \dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(t)\sin\dfrac{n\pi t}{L}dt \end{align*}

    NNに対して極限をとれば

    lim⁡N→∞SNf(t)=a02+∑n=1∞(ancos⁡nπtL+bnsin⁡nπtL) \lim \limits_{N \rightarrow \infty} S_{N}^{f} (t)=\dfrac{a_{0}}{2}+\sum \limits_{n=1}^{\infty} \left( a_{n} \cos \dfrac{n\pi t}{L} + b_{n} \sin\dfrac{n\pi t}{L} \right)

    上の級数を ffのフーリエ級数 と呼び、a0a_0, ana_{n}, bnb_{n}を ffのフーリエ係数 という。

■

  1. チェ・ビョンソン, フーリエ解析入門 (2002), p51-53 ↩︎

  2. RSSが平均二乗誤差である。 ↩︎