フーリエ級数の導出
定義
$2L$-周期関数 $f$に対して次のような級数を $f$のフーリエ級数Fourier series of $f$と定義する。
$$ \begin{align*} \lim \limits_{N \rightarrow \infty} S^{f}_{N}(t) &= \lim \limits_{N \to \infty}\left[ \dfrac{a_{0}}{2}+\sum \limits_{n=1}^{N} \left( a_{n} \cos \dfrac{n\pi t}{L} + b_{n}\sin\dfrac{n\pi t}{L} \right) \right] \\ &= \dfrac{a_{0}}{2}+\sum \limits_{n=1}^{\infty} \left( a_{n} \cos \dfrac{n\pi t}{L} + b_{n}\sin\dfrac{n\pi t}{L} \right) \end{align*} $$
この時、各々の係数 $a_{0}, a_{n}, b_{n}$を フーリエ係数Fourier coefficientと言い、値は次のようになる。
$$ \begin{align*} \\ a_{0} &=\dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(t)dt \\ a_{n} &= \dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(t)\cos\dfrac{n\pi t}{L} dt \\ b_{n} &=\dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(t)\sin \dfrac{n\pi t}{L}dt \end{align*} $$
説明
フーリエ級数は任意の関数を三角関数の級数展開で表現するもので、フランスの数学者 ジョセフ・フーリエJoseph Fourierが熱方程式を解くために考案したことでよく知られている。任意の関数と表現した理由は、ある区間 $(a,b)$で定義された関数があれば、これをCtrl+C, Ctrl+Vして $(b-a)$-周期関数にすることができるからである。
核心原理は互いに直交する三角関数たちの線形結合で表現されることであり、3次元ベクトルにたとえると、$(4,-1,7)$を次のように分けることに似ている。
$$ (4,-1,7) = a_{1}\hat{\mathbf{e}}_{1} + a_{2}\hat{\mathbf{e}}_{1} + a_{3}\hat{\mathbf{e}}_{1} $$
実際に、$f$のフーリエ級数は$f$との誤差が非常に小さく、条件がよく満たされれば $f$に点ごとに収束する。
$$ f(t) = \dfrac{a_{0}}{2}+\sum \limits_{n=1}^{\infty} \left( a_{n} \cos \dfrac{n\pi t}{L}t + b_{n}\sin\dfrac{n\pi t}{L} \right) $$
導出
回帰分析1
パート 1
関数 $f(t)$を $1, \cos \dfrac{\pi t}{L}, \cos\dfrac{2\pi t}{L}, \cdots, \sin \dfrac{\pi t}{L}, \sin \dfrac{2\pi t}{L}, \cdots $たちの線形結合で表現することが目的である。したがって、$S^{f}_{N}(t)=\dfrac{1}{2}{\alpha_{0}}+\sum \limits_{n=1}^{N} \left( \alpha_{n} \cos \dfrac{n \pi t}{L}+\beta_{n}\sin\dfrac{n\pi t}{L} \right)$とした時、$f(t)$は以下のように表現できる。
$$ f(t)=S^{f}_{N}(t)+e_{N}(t) $$
$e_{N}(t)$は $f(t)$と近似式 $S_{N}^{f} (t)$の差である。この差が最も小さくなる$S_{N}^{f}(t)$を見つければ、それが$f(t)$との差が最も小さい級数展開になる。$e_{N}$を 平均二乗誤差mean square error2としよう。
$$ e_{N}=\dfrac{1}{2L}\int_{-L}^{L} [e_{N}(t) ]^{2}dt=\dfrac{1}{2L}\int_{-L}^{L} \left[ f(t)-S^{f}_{N} (t) \right]^{2} dt $$
パート 2
$$ \begin{align*} e_{N} &= \dfrac{1}{2L}\int_{-L}^{L} \left[ f(t)-S^{f}_{N}(t) \right]^{2} dt \\ &= \dfrac{1}{2L}\int_{-L}^{L} \left[ f(t)-\dfrac{1}{2}{\alpha_{0}}-\sum \limits_{n=1}^{N} \left( \alpha_{n} \cos \dfrac{n \pi t}{L}+\beta_{n}\sin\dfrac{n\pi t}{L} \right) \right]^{2} dt \end{align*} $$
平均二乗誤差 $e_{N}$が最小になる時の係数 $\alpha_0,\ \alpha_{n},\ \beta_{n}$をそれぞれ $a_0$, $a_{n}$, $b_{n}$としよう。$e_{N}$を最小化する条件は次のようであり、正規方程式normal equationと言われる。
$$ \dfrac{\partial e_{N}}{\partial \alpha_{0}}=0,\ \ \dfrac{\partial e_{N}}{\partial \alpha_{n}}=0,\ \ \dfrac{\partial e_{N}}{\partial \beta_{n}}=0\quad (m=1,\ 2,\ \cdots,\ N) $$
それでは、$a_{0}$, $a_{n}$, $b_{n}$は以下のように求めることができる。
パート 2.1 $a_{0}$
$$ \begin{align*} \dfrac{\partial e_{N}}{\partial \alpha_{0}} &= \dfrac{1}{2L}\int_{-L}^{L} \dfrac{\partial}{\partial \alpha_{0}} \left[ f(t)-\dfrac{1}{2} {\alpha_{0}}-\sum \limits_{n=1}^{N} \left( \alpha_{n} \cos \dfrac{n \pi t}{L}+\beta_{n}\sin\dfrac{n\pi t}{L} \right) \right]^{2} dt \\ &= 2\cdot \dfrac{-1}{2} \cdot \dfrac{1}{2L} \int_{-L}^{L} \left[ f(t)-\dfrac{1}{2}{\alpha_{0}}-\sum \limits_{n=1}^{N} \left( \alpha_ {N} \cos \dfrac{n \pi t}{L}+\beta_{n}\sin\dfrac {n\pi t}{L} \right) \right] dt \\ &= \dfrac{-1}{2L}\int_{-L}^{L}f(t) dt + \dfrac{1}{2L}\int_{-L}^{L}\dfrac{1}{2}\alpha_{0} dt +\dfrac{1}{2L}\int_{-L}^{L} \sum \limits_ {n=1}^{N}\left( \alpha_{n}\cos \dfrac{n\pi t}{L}+\beta_{n} \sin \dfrac{n \pi t}{L} \right) dt \\ &= \dfrac{-1}{2L}\int_{-L}^{L}f(t) dt + \dfrac{1}{2L}\int_{-L}^{L}\dfrac{1}{2}\alpha_{0} dt \\ &= \dfrac{-1}{2L}\int_{-L}^{L}f(t) dt +\dfrac{1}{2}\alpha_{0} \\ &= 0 \end{align*} $$
4番目の等号は三角関数の1周期積分が0であるため成り立つ。したがって
$$ a_{0} = \dfrac{1}{L} \int_{-L}^{L}f(t)dt $$
パート 2.2 $a_{n}$
ある$m \in \left\{ 1,2,\dots,N \right\}$を一つ選ぼう。
$$ \begin{align*} \dfrac{\partial e_{N}}{\partial \alpha_{m}} &= \dfrac{1}{2L}\int_{-L}^{L} \dfrac{\partial}{\partial \alpha_{m}} \left[ f(t)-\dfrac{1}{2} {\alpha_{0}}-\sum \limits_{n=1}^{N} \left( \alpha_{n} \cos \dfrac{n \pi t}{L}+\beta_{n}\sin\dfrac{n\pi t}{L} \right) \right]^{2} dt \\ &= 2\cdot \dfrac{1}{2L} \int_{-L}^{L} \left( - \cos \dfrac{m\pi t}{L} \right)\left[ f(t)-\dfrac{1}{2}{\alpha_{0}}-\sum \limits_{n=1}^ {N} \left( \alpha_{n} \cos \dfrac{n \pi t}{L} +\beta_{n}\sin\dfrac{n\pi t}{L} \right) \right]dt \\ &= -\dfrac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(t)\cos\dfrac{m\pi t}{L} dt +\dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L} \dfrac{1}{2}\alpha_{0}\cos\dfrac{m\pi t}{L} dt \\ &\quad + \dfrac{1}{L} \int_{-L}^{L} \sum \limits_{n=1}^{N} \left( \alpha_{n} \cos \dfrac{n\pi t}{L} + \beta_{n}\sin\dfrac{n\pi t}{L} \right) \cos\dfrac{m\pi t}{L}dt \\ &= -\dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(t)\cos\dfrac{m\pi t}{L} dt + \dfrac{1}{L}\alpha_{m} \int_{-L}^{L}\cos\dfrac{m\pi t}{L}\cos\dfrac{m\pi t} {L} dt\\ &= -\dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(t)\cos\dfrac{m\pi t}{L} dt + \alpha_{m} \\ &= 0 \end{align*} $$
4番目、5番目の等号は三角関数の直交性によって成り立つ。したがって
$$ a_{n}= \dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(t)\cos\dfrac{n\pi t}{L} dt \quad (n=1, 2, \cdots, N) $$
パート 2.3 $b_{n}$
ある$m \in \left\{ 1,2,\dots,N \right\}$を一つ選ぼう。
$$ \begin{align*} \dfrac{\partial e_{N}}{\partial \beta_{m}} &= \dfrac{1}{2L}\int_{-L}^{L} \dfrac{\partial}{\partial \beta_{m}} \left[ f(t)-\dfrac{1}{2} {\alpha_{0}}-\sum \limits_{n=1}^{N} \left( \alpha_{n} \cos \dfrac{n \pi t}{L}+\beta_{n}\sin\dfrac{n\pi t}{L} \right) \right]^{2} dt \\ &= 2\cdot \dfrac{1}{2L} \int_{-L}^{L} \left( - \sin \dfrac{m\pi t}{L} \right)\left[ f(t)-\dfrac{1}{2}{\alpha_{0}}-\sum \limits_{n=1}^ {N} \left( \alpha_{n} \cos \dfrac{n \pi t}{L} +\beta_{n}\sin\dfrac{n\pi t}{L} \right) \right]dt \\ &= -\dfrac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(t)\sin\dfrac{m\pi t}{L} dt +\dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L} \dfrac{1}{2}\alpha_{0}\sin\dfrac{m\pi t}{L} dt \\ &\quad +\dfrac{1}{L} \int_{-L}^{L} \sum \limits_{n=1}^{N} \left( \alpha_{n} \cos \dfrac{n\pi t}{L} + \beta_{n}\sin\dfrac{n\pi t}{L} \right) \sin\dfrac{m\pi t}{L}dt \\ &= -\dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(t)\sin\dfrac{m\pi t}{L} dt + \dfrac{1}{L}\beta_{m} \int_{-L}^{L}\sin\dfrac{m\pi t}{L}\sin\dfrac{m\pi t} {L} dt \\ &= -\dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(t)\sin\dfrac{m\pi t}{L} dt + \beta_{m} \\ &=0 \end{align*} $$
4番目、5番目の等号は三角関数の直交性によって成り立つ。したがって
$$ b_{n}=\dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(t)\sin\dfrac{n\pi t}{L}dt \quad (n=1, 2, \cdots, N) $$
パート 3 ここで得られた$a_0$, $a_{n}$, $b_{n}$で$f(t)$を表現すると同じになる。
$$ \begin{align*} f(t) &= S^{f}_{N}(t)+e_{N}(t) \\[1em] \text{where } S^{f}_{N}(t) &= \dfrac{a_{0}}{2}+\sum \limits_{n=1}^{N} \left( a_{n} \cos \dfrac{n\pi t}{L} + b_{n}\sin\dfrac{n\pi t} {L} \right) \\ a_{0} &= \dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(t)dt \\ a_{n} &= \dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(t)\cos\dfrac{n\pi t}{L} dt \\ b_{n} &= \dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(t)\sin\dfrac{n\pi t}{L}dt \end{align*} $$
$N$に対して極限をとれば
$$ \lim \limits_{N \rightarrow \infty} S_{N}^{f} (t)=\dfrac{a_{0}}{2}+\sum \limits_{n=1}^{\infty} \left( a_{n} \cos \dfrac{n\pi t}{L} + b_{n} \sin\dfrac{n\pi t}{L} \right) $$
上の級数を $f$のフーリエ級数 と呼び、$a_0$, $a_{n}$, $b_{n}$を $f$のフーリエ係数 という。
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