分離ベクトルの回転
📂数理物理学分離ベクトルの回転
式
∇×
2
=0
説明
この式が特別な意味を持つわけではない。磁場の発散を求める過程で出てくるが、計算が簡単ではないため、別に説明する。
証明
=(x−x′)x^+(y−y′)y^+(z−z′)z^を成分ベクトルとすると、次のようになる。
∣
∣=
=(x−x′)2+(y−y′)2+(z−z′)2
=
=(x−x′)2+(y−y′)2+(z−z′)2(x−x′)x^+(y−y′)y^+(z−z′)z^
2
=(x−x′)2+(y−y′)2+(z−z′)21(x−x′)2+(y−y′)2+(z−z′)2(x−x′)x^+(y−y′)y^+(z−z′)z^
計算の便宜のため
2
=Axx^+Ayy^+Azz^
とする。すると
∇×
2
=x^∂x∂Axy^∂y∂Ayz^∂z∂Az=(∂y∂Az−∂z∂Ay)x^+(∂z∂Ax−∂x∂Az)y^+(∂x∂Ay−∂y∂Ax)z^
x^項を先に計算してみよう。
====∂y∂Az−∂z∂Ay ∂y∂[[(x−x′)2+(y−y′)2+(z−z′)2]−23(z−z′)]−∂z∂[[(x−x′)2+(y−y′)2+(z−z′)2]−23(y−y′)] −23[[(x−x′)2+(y−y′)2+(z−z′)2]−25(z−z′)]⋅2(y−y′)+23[[(x−x′)2+(y−y′)2+(z−z′)2]−25(y−y′)]⋅2(z−z′) −3[(x−x′)2+(y−y′)2+(z−z′)2]−25(z−z′)(y−y′)+3[(x−x′)2+(y−y′)2+(z−z′)2]−25(y−y′)(z−z′) 0
同じ方法で計算すると、y^項とz^項も0になる。
∴∇×
2
=0
■