ポアソン方程式
定義
以下の方程式を ポアソン方程式Poisson’s equationという。
$$ \Delta u = \nabla^{2} u = f $$
ここで $\Delta = \nabla^{2}$ は ラプラシアン であり、$u, f : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}$ である。
説明
$f = 0$ の特殊な場合を ラプラス方程式という。物理的に $f$ は 原因source、$u$ は 結果potential or distribution を意味する。例えば 静電気学 において、電位 $V$ と 電荷密度 $\rho$ は次のような式で表される。
$$ \Delta V = \nabla^{2} V = -\frac{1}{\epsilon_{0}} \rho $$