📂幾何学

中心角が小さい場合、弧の長さと弦の長さが近似的であることを証明する

定理

中心角 $\theta$が十分に小さい場合、弦の長さと弧の長さは近似する。$\theta \rightarrow 0$の時

$$\overline{AB} \approx \stackrel\frown{AB}$$

証明

上の図で、弦の長さは

$$\overline{AB} =2\overline{AM}=2r\sin \frac{\theta}{2}$$

中心角が$\theta$で半径の長さが$r$の弧の長さは

$$\stackrel\frown{AB}=r\theta$$

角度が十分に小さい時、弧の長さと弦の長さが近似するというのは、その差がほとんど無視できるという意味で、つまり、比率が1であるということで

$$\lim \limits_{\theta \rightarrow 0}\dfrac{ \overline{AB} }{\stackrel\frown{AB}}=1$$

であることを確認すればいい。

$$\begin{align*} \lim \limits_{\theta \rightarrow 0}\dfrac{ \overline{AB} }{\stackrel\frown{AB}} =&\ \lim \limits_{\theta \rightarrow 0} \dfrac{2r\sin \frac{\theta}{2}} {r\theta} \\ =&\ \lim \limits_{\theta \rightarrow 0} \dfrac{\sin \frac{\theta}{2}}{\frac{\theta}{2} } = 1 \end{align*}$$

■