アインシュタインの記法
ノーテーション
２回以上繰り返される添字については、合計記号$\sum$を省略する。
説明
アインシュタインの合計規約Einstein summation conventionとも呼ばれる。公式のようなものではなく、文字通りの規則である。ベクトル計算をしていくと、一つの式の中で$\sum$を何重にも書かなければならない場面がよくあるが、これでは式が汚くなり、手で書く時も非常に面倒である。したがって、添字が２回以上繰り返される場合は、合計記号を省略するという約束である。もちろん、意味を混同しないように注意が必要である。
混乱する場合は、左辺にどのようなインデックスがあるかを確認すればよい。左辺に明らかにインデックス$i$がなければ、右辺ではアインシュタインのノーテーションにより$\sum \limits_{i}$が省略されていることになる。逆に、左辺にインデックス$j$がある場合、右辺では$j$に対する$\sum$が省略されているわけではなく、単にないのである。
例
$1,2,3$がそれぞれ$x,y,z$を表すとする。ベクトル$\mathbf{A} = (A_{1}, A_{2}, A_{3})$と$\mathbf{B} = (B_{1}, B_{2}, B_{3})$が与えられたとする。
ベクトル
$$ \begin{align*} \mathbf{A} &= \hat{\mathbf{e}}_{1}A_{1} + \hat{\mathbf{e}}_{2}A_{2} + \hat{\mathbf{e}}_{3}A_{3} \\ &= \sum \limits_{i=1}^{3} \hat{\mathbf{e}}_{i}A_{i} \\ &= \hat{\mathbf{e}}_{i}A_{i} \end{align*} $$
２つのベクトルの内積
$$ \begin{align*} \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} &= A_{1}B_{1} + A_{2}B_{2} + A_{3}B_{3} \\ &= \sum \limits_{i=1}^{3} A_{i}B_{i} \\ &= A_{i}B_{i} \end{align*} $$
クロネッカーのデルタを使って、次のように表せる。
$$ \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = A_{i}B_{i} = \delta_{ij}A_{i}B_{j} $$
ベクトル関数の発散
$\dfrac{\partial }{\partial x_{i}} = \nabla_{i}$とする。そうすると、２つのベクトルの内積から得られる結果と似た結果が得られる。
$$ \begin{align*} \nabla \cdot \mathbf{A} &= \dfrac{\partial A_{1}}{\partial x_{1}} + \dfrac{\partial A_{2}}{\partial x_{2}} + \dfrac{\partial A_{3}}{\partial x_{3}} \\ &= \nabla_{1} A_{1} + \nabla_{2} A_{2} + \nabla_{3} A_{3} \\ &= \sum \limits_{i=1}^{3} \nabla_{i} A_{i} \\ &= \nabla_{i}A_{i} \\ &= \delta_{ij}\nabla_{i}A_{j} \end{align*} $$
２つのベクトルの外積
$$ \begin{align*} & \mathbf{A} \times \mathbf{B} \\ =&\ \hat{\mathbf{e}}_{1} \left( A_{2} B_{3} - A_{3} B_{2} \right) + \hat{\mathbf{e}}_{2} \left( A_{3} BA_{1} - A_{1} B_{3} \right) + \hat{\mathbf{e}}_{3} \left( A_{1} B_{2} - A_{2} B_{1} \right) \\ =&\ \hat{\mathbf{e}}_{1} A_{2} B_{3} - \hat{\mathbf{e}}_{1} A_{3} B_{2} + \hat{\mathbf{e}}_{2} A_{3} B_{1} - \hat{\mathbf{e}}_{2} A_{1} B_{3} + \hat{\mathbf{e}}_{3} A_{1} B_{2} - \hat{\mathbf{e}}_{1} A_{2} B_{1} \\ =&\ \epsilon_{123} \hat{\mathbf{e}}_{1} A_{2} B_{3} + \epsilon_{132} \hat{\mathbf{e}}_{1} A_{3} B_{2} + \epsilon_{231} \hat{\mathbf{e}}_{2} A_{3} B_{1} + \epsilon_{213} \hat{\mathbf{e}}_{2} A_{1} B_{3} + \epsilon_{312} \hat{\mathbf{e}}_{3} A_{1} B_{2} + \epsilon_{321} \hat{\mathbf{e}}_{3} A_{2} B_{1} \\ =&\ \sum\limits_{i=1}^{3} \sum\limits_{j=1}^{3} \sum\limits_{k=1}^{3} \epsilon_{ijk} \hat{\mathbf{e}}_{i} A_{j} B_{k} \\ =&\ \epsilon_{ijk} \hat{\mathbf{e}}_{i} A_{j}B_{k} \end{align*} $$
この時、$\epsilon_{ijk}$はレヴィ=チヴィタ記号である。上記の結果により、次の式が成り立つ。
$$ (\mathbf{A} \times \mathbf{B} )_{i} = \epsilon_{ijk} A_{j}B_{k} $$
ベクトル関数の回転
再び$\dfrac{\partial }{\partial x_{i}} = \nabla_{i}$とする。そうすると、２つのベクトルの外積から得られる結果と似た結果が得られる。
$$ \begin{align*} & \nabla \times \mathbf{A} \\ =&\ \hat{\mathbf{e}}_{1} \left( \nabla_{2} A_{3} - \nabla_{3} A_{2} \right) + \hat{\mathbf{e}}_{2} \left( \nabla_{3} A_{1} - \nabla_{1} A_{3} \right) + \hat{\mathbf{e}}_{3} \left( \nabla_{1} A_{2} - \nabla_{2} A_{1} \right) \\ =&\ \hat{\mathbf{e}}_{1} \nabla_{2} A_{3} - \hat{\mathbf{e}}_{1} \nabla_{3} A_{2} + \hat{\mathbf{e}}_{2} \nabla_{3} A_{1} - \hat{\mathbf{e}}_{2} \nabla_{1} A_{3} + \hat{\mathbf{e}}_{3} \nabla_{1} A_{2} - \hat{\mathbf{e}}_{1} \nabla_{2} A_{1} \\ =&\ \epsilon_{123} \hat{\mathbf{e}}_{1} \nabla_{2} A_{3} + \epsilon_{132} \hat{\mathbf{e}}_{1} \nabla_{3} A_{2} + \epsilon_{231} \hat{\mathbf{e}}_{2} \nabla_{3} A_{1} + \epsilon_{213} \hat{\mathbf{e}}_{2} \nabla_{1} A_{3} + \epsilon_{312} \hat{\mathbf{e}}_{3} \nabla_{1} A_{2} + \epsilon_{321} \hat{\mathbf{e}}_{3} \nabla_{2} A_{1} \\ =&\ \sum\limits_{i=1}^{3} \sum\limits_{j=1}^{3} \sum\limits_{k=1}^{3} \epsilon_{ijk} \hat{\mathbf{e}}_{i} \nabla_{j} A_{k} \\ =&\ \epsilon_{ijk} \hat{\mathbf{e}}_{i} \nabla_{j} A_{k} \end{align*} $$
ここで、$\nabla_{i}$が微分であることを常に意識しなければならない。通常のベクトル成分は順番を変えても大きな問題はない。
$$ A_{1}A_{2}A_{3} = A_{2}A_{1}A_{3} $$
しかし、$\nabla_{i}$は微分であるため、ベクトルの成分と順序を絶対に入れ替えてはいけない。
$$ A_{1}\nabla_{2}A_{3} \ne \nabla_{2}A_{1}A_{3} $$
例えば、$\mathbf{A} = (y,xy,xyz)$とすると、次の結果が得られる。
$$ A_{1}\nabla_{2}A_{3} = y \dfrac{\partial (xyz)}{\partial y} = xyz \ne 2xyz = \dfrac{\partial (xy^{2}z)}{\partial y} = \nabla_{2}A_{1}A_{3} $$
もちろん、$\dfrac{\partial^{2} }{\partial x\partial y} = \dfrac{\partial^{2} }{\partial y\partial x}$であるため、$\nabla_{1}\nabla_{2}=\nabla_{2}\nabla_{1}$が成立する。