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アインシュタインの記法 📂数理物理学

アインシュタインの記法

ノーテーション

２回以上繰り返される添字については、合計記号∑\sumを省略する。

説明

アインシュタインの合計規約Einstein summation conventionとも呼ばれる。公式のようなものではなく、文字通りの規則である。ベクトル計算をしていくと、一つの式の中で∑\sumを何重にも書かなければならない場面がよくあるが、これでは式が汚くなり、手で書く時も非常に面倒である。したがって、添字が２回以上繰り返される場合は、合計記号を省略するという約束である。もちろん、意味を混同しないように注意が必要である。

混乱する場合は、左辺にどのようなインデックスがあるかを確認すればよい。左辺に明らかにインデックスiiがなければ、右辺ではアインシュタインのノーテーションにより∑i\sum \limits_{i}が省略されていることになる。逆に、左辺にインデックスjjがある場合、右辺ではjjに対する∑\sumが省略されているわけではなく、単にないのである。

例

1,2,31,2,3がそれぞれx,y,zx,y,zを表すとする。ベクトルA=(A1,A2,A3)\mathbf{A} = (A_{1}, A_{2}, A_{3})とB=(B1,B2,B3)\mathbf{B} = (B_{1}, B_{2}, B_{3})が与えられたとする。

ベクトル

A=e^1A1+e^2A2+e^3A3=∑i=13e^iAi=e^iAi \begin{align*} \mathbf{A} &= \hat{\mathbf{e}}_{1}A_{1} + \hat{\mathbf{e}}_{2}A_{2} + \hat{\mathbf{e}}_{3}A_{3} \\ &= \sum \limits_{i=1}^{3} \hat{\mathbf{e}}_{i}A_{i} \\ &= \hat{\mathbf{e}}_{i}A_{i} \end{align*}

２つのベクトルの内積

A⋅B=A1B1+A2B2+A3B3=∑i=13AiBi=AiBi \begin{align*} \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} &= A_{1}B_{1} + A_{2}B_{2} + A_{3}B_{3} \\ &= \sum \limits_{i=1}^{3} A_{i}B_{i} \\ &= A_{i}B_{i} \end{align*}

クロネッカーのデルタを使って、次のように表せる。

A⋅B=AiBi=δijAiBj \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = A_{i}B_{i} = \delta_{ij}A_{i}B_{j}

ベクトル関数の発散

∂∂xi=∇i\dfrac{\partial }{\partial x_{i}} = \nabla_{i}とする。そうすると、２つのベクトルの内積から得られる結果と似た結果が得られる。

∇⋅A=∂A1∂x1+∂A2∂x2+∂A3∂x3=∇1A1+∇2A2+∇3A3=∑i=13∇iAi=∇iAi=δij∇iAj \begin{align*} \nabla \cdot \mathbf{A} &= \dfrac{\partial A_{1}}{\partial x_{1}} + \dfrac{\partial A_{2}}{\partial x_{2}} + \dfrac{\partial A_{3}}{\partial x_{3}} \\ &= \nabla_{1} A_{1} + \nabla_{2} A_{2} + \nabla_{3} A_{3} \\ &= \sum \limits_{i=1}^{3} \nabla_{i} A_{i} \\ &= \nabla_{i}A_{i} \\ &= \delta_{ij}\nabla_{i}A_{j} \end{align*}

２つのベクトルの外積

A×B= e^1(A2B3−A3B2)+e^2(A3BA1−A1B3)+e^3(A1B2−A2B1)= e^1A2B3−e^1A3B2+e^2A3B1−e^2A1B3+e^3A1B2−e^1A2B1= ϵ123e^1A2B3+ϵ132e^1A3B2+ϵ231e^2A3B1+ϵ213e^2A1B3+ϵ312e^3A1B2+ϵ321e^3A2B1= ∑i=13∑j=13∑k=13ϵijke^iAjBk= ϵijke^iAjBk \begin{align*} & \mathbf{A} \times \mathbf{B} \\ =&\ \hat{\mathbf{e}}_{1} \left( A_{2} B_{3} - A_{3} B_{2} \right) + \hat{\mathbf{e}}_{2} \left( A_{3} BA_{1} - A_{1} B_{3} \right) + \hat{\mathbf{e}}_{3} \left( A_{1} B_{2} - A_{2} B_{1} \right) \\ =&\ \hat{\mathbf{e}}_{1} A_{2} B_{3} - \hat{\mathbf{e}}_{1} A_{3} B_{2} + \hat{\mathbf{e}}_{2} A_{3} B_{1} - \hat{\mathbf{e}}_{2} A_{1} B_{3} + \hat{\mathbf{e}}_{3} A_{1} B_{2} - \hat{\mathbf{e}}_{1} A_{2} B_{1} \\ =&\ \epsilon_{123} \hat{\mathbf{e}}_{1} A_{2} B_{3} + \epsilon_{132} \hat{\mathbf{e}}_{1} A_{3} B_{2} + \epsilon_{231} \hat{\mathbf{e}}_{2} A_{3} B_{1} + \epsilon_{213} \hat{\mathbf{e}}_{2} A_{1} B_{3} + \epsilon_{312} \hat{\mathbf{e}}_{3} A_{1} B_{2} + \epsilon_{321} \hat{\mathbf{e}}_{3} A_{2} B_{1} \\ =&\ \sum\limits_{i=1}^{3} \sum\limits_{j=1}^{3} \sum\limits_{k=1}^{3} \epsilon_{ijk} \hat{\mathbf{e}}_{i} A_{j} B_{k} \\ =&\ \epsilon_{ijk} \hat{\mathbf{e}}_{i} A_{j}B_{k} \end{align*}

この時、ϵijk\epsilon_{ijk}はレヴィ=チヴィタ記号である。上記の結果により、次の式が成り立つ。

(A×B)i=ϵijkAjBk (\mathbf{A} \times \mathbf{B} )_{i} = \epsilon_{ijk} A_{j}B_{k}

ベクトル関数の回転

再び∂∂xi=∇i\dfrac{\partial }{\partial x_{i}} = \nabla_{i}とする。そうすると、２つのベクトルの外積から得られる結果と似た結果が得られる。

∇×A= e^1(∇2A3−∇3A2)+e^2(∇3A1−∇1A3)+e^3(∇1A2−∇2A1)= e^1∇2A3−e^1∇3A2+e^2∇3A1−e^2∇1A3+e^3∇1A2−e^1∇2A1= ϵ123e^1∇2A3+ϵ132e^1∇3A2+ϵ231e^2∇3A1+ϵ213e^2∇1A3+ϵ312e^3∇1A2+ϵ321e^3∇2A1= ∑i=13∑j=13∑k=13ϵijke^i∇jAk= ϵijke^i∇jAk \begin{align*} & \nabla \times \mathbf{A} \\ =&\ \hat{\mathbf{e}}_{1} \left( \nabla_{2} A_{3} - \nabla_{3} A_{2} \right) + \hat{\mathbf{e}}_{2} \left( \nabla_{3} A_{1} - \nabla_{1} A_{3} \right) + \hat{\mathbf{e}}_{3} \left( \nabla_{1} A_{2} - \nabla_{2} A_{1} \right) \\ =&\ \hat{\mathbf{e}}_{1} \nabla_{2} A_{3} - \hat{\mathbf{e}}_{1} \nabla_{3} A_{2} + \hat{\mathbf{e}}_{2} \nabla_{3} A_{1} - \hat{\mathbf{e}}_{2} \nabla_{1} A_{3} + \hat{\mathbf{e}}_{3} \nabla_{1} A_{2} - \hat{\mathbf{e}}_{1} \nabla_{2} A_{1} \\ =&\ \epsilon_{123} \hat{\mathbf{e}}_{1} \nabla_{2} A_{3} + \epsilon_{132} \hat{\mathbf{e}}_{1} \nabla_{3} A_{2} + \epsilon_{231} \hat{\mathbf{e}}_{2} \nabla_{3} A_{1} + \epsilon_{213} \hat{\mathbf{e}}_{2} \nabla_{1} A_{3} + \epsilon_{312} \hat{\mathbf{e}}_{3} \nabla_{1} A_{2} + \epsilon_{321} \hat{\mathbf{e}}_{3} \nabla_{2} A_{1} \\ =&\ \sum\limits_{i=1}^{3} \sum\limits_{j=1}^{3} \sum\limits_{k=1}^{3} \epsilon_{ijk} \hat{\mathbf{e}}_{i} \nabla_{j} A_{k} \\ =&\ \epsilon_{ijk} \hat{\mathbf{e}}_{i} \nabla_{j} A_{k} \end{align*}

ここで、∇i\nabla_{i}が微分であることを常に意識しなければならない。通常のベクトル成分は順番を変えても大きな問題はない。

A1A2A3=A2A1A3 A_{1}A_{2}A_{3} = A_{2}A_{1}A_{3}

しかし、∇i\nabla_{i}は微分であるため、ベクトルの成分と順序を絶対に入れ替えてはいけない。

A1∇2A3≠∇2A1A3 A_{1}\nabla_{2}A_{3} \ne \nabla_{2}A_{1}A_{3}

例えば、A=(y,xy,xyz)\mathbf{A} = (y,xy,xyz)とすると、次の結果が得られる。

A1∇2A3=y∂(xyz)∂y=xyz≠2xyz=∂(xy2z)∂y=∇2A1A3 A_{1}\nabla_{2}A_{3} = y \dfrac{\partial (xyz)}{\partial y} = xyz \ne 2xyz = \dfrac{\partial (xy^{2}z)}{\partial y} = \nabla_{2}A_{1}A_{3}

もちろん、∂2∂x∂y=∂2∂y∂x\dfrac{\partial^{2} }{\partial x\partial y} = \dfrac{\partial^{2} }{\partial y\partial x}であるため、∇1∇2=∇2∇1\nabla_{1}\nabla_{2}=\nabla_{2}\nabla_{1}が成立する。