📂電磁気学

磁力は仕事をしない

定理¹

磁力は仕事をしない。

説明

磁力がある状況で粒子や物体などが動くと、外見上はまるで磁力が仕事をしたように見える。しかし、実際にはそうではない。

証明

仕事は力と変位の積である。

$$W=\int \mathbf{F} \cdot d\mathbf{l}$$

磁力によってなされた仕事は

$$W_{\text{mag}}=\int \mathbf{F}_{\text{mag}} \cdot d\mathbf{l} = \int Q(\mathbf{v}\times \mathbf{B})\cdot d\mathbf{l}$$

この時、$d\mathbf{l} = \dfrac{d\mathbf{l}}{dt}dt = \mathbf{v}dt$より

$$W_{\text{mag}} = \int Q( \mathbf{v} \times \mathbf{B})\cdot \mathbf{v}dt$$

ここで、$(\mathbf{v}\times \mathbf{B})$は$\mathbf{v}$と垂直なベクトルである。$\mathbf{v}$と垂直なベクトルを$\mathbf{v}$と内積したので、その結果は当然$0$である。従って、

$$W_{\text{mag}} =\int 0 dt=0$$

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