磁力は仕事をしない
定理1
磁力は仕事をしない。
説明
磁力がある状況で粒子や物体などが動くと、外見上はまるで磁力が仕事をしたように見える。しかし、実際にはそうではない。
証明
仕事は力と変位の積である。
$$ W=\int \mathbf{F} \cdot d\mathbf{l} $$
磁力によってなされた仕事は
$$ W_{\text{mag}}=\int \mathbf{F}_{\text{mag}} \cdot d\mathbf{l} = \int Q(\mathbf{v}\times \mathbf{B})\cdot d\mathbf{l} $$
この時、$d\mathbf{l} = \dfrac{d\mathbf{l}}{dt}dt = \mathbf{v}dt$より
$$ W_{\text{mag}} = \int Q( \mathbf{v} \times \mathbf{B})\cdot \mathbf{v}dt $$
ここで、$(\mathbf{v}\times \mathbf{B})$は$\mathbf{v}$と垂直なベクトルである。$\mathbf{v}$と垂直なベクトルを$\mathbf{v}$と内積したので、その結果は当然$0$である。従って、
$$ W_{\text{mag}} =\int 0 dt=0 $$
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David J. Griffiths, 基礎電磁気学(Introduction to Electrodynamics, 金振成 訳) (第4版, 2014), p232-233 ↩︎