ペル方程式
📂整数論ペル方程式
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an:=n2を正方形の数square numberと言う。

bm:=2m(m+1)を三角数triangular numberと言う。

正方形の数であり三角数でもある数があるか考えてみると、すぐにa1=b1=1とa6=62=36=28⋅9=b8が思い浮かぶ。さて、一般的に正方形の数でありながらも三角数である場合を考えてみよう。
n2=2m(m+1)⟹8n2=4m(m+1)⟹8n2=(2m+1)2−1
x:=2m+1とy:=2nとしておくと、
2y2=x2−1
このように整理してみると「正方形の数でありながらも三角数である数は何か」という問いはx2−2y2=1の自然数解を見つける問いに変わる。
定義
このような方程式を一般化したものがペルの方程式であり、以下の定理が知られている。
定理
- [1]: D∈Nが完全平方数でない場合、x2−Dy2=1は常に解を持つ。
- [2]: (x1,y1)がx1の値が最小の解である場合、すべての解(xk,yk)はxk+ykD=(x1+y1D)kのように求められる。ただし、k,xk,yk∈Nである。
説明
正方形の数と三角数から直接続く例として、x2−2y2=1を満たす自然数解は32−2⋅22=1であり、したがって(3,2)が存在する。x=3=2m+1でありy=2=2nと定義されているので、これは最も単純なケースn=m=1にぴったり合う。これでk=2の場合を考えてみると、
x2+y22=(3+22)2=17+122
実際にx=17=2m+1とy=12=2nとして定義されたので、これらの値は私たちが知っているm=8とn=6になる。
ペルの方程式で最も目立つのは、明らかに数論の一部でありながら、計算に無理数の2を使用したことである。この拡張は複素数に対しても可能である。また、方程式の形が双曲線の方程式に似ているので、これに関連する何らかの議論があったことが推測できる。