ラプラシアン演算子が2回登場する方程式、2階の偏微分
📂数理物理学ラプラシアン演算子が2回登場する方程式、2階の偏微分
解説
Tをスカラー関数、Aをベクトル関数としよう。
グラディエントのダイバージェンス: ∇⋅(∇T)=∂x2∂2T+∂y2∂2T+∂z2∂2T
グラディエントのカール: ∇×(∇T)=0
ダイバージェンスのグラディエント: ∇(∇⋅A)
カールのダイバージェンス: ∇⋅(∇×A)=0
カールのカール: ∇×(∇×A)=∇(∇⋅A)−∇2A
グラディエントとカールの結果がベクトルで、ダイバージェンスの結果がスカラーであるため、2次導関数は全部で五つの種類がある。
グラディエントのダイバージェンス
グラディエントのダイバージェンスには特にラプラシアンという名前が付いており、簡単に∇2と表示される。
∇⋅(∇T)=(∂x∂x^+∂y∂y^+∂z∂z^)⋅(∂x∂Tx^+∂y∂Ty^+∂z∂Tz^)=∂x2∂2T+∂y2∂2T+∂z2∂2T=∇2T
ラプラシアンは基本的にスカラー関数に適用される演算子だが、以下の場合のようにベクトルに対して使用した場合、ベクトルの各成分(スカラー)にラプラシアンを適用する意味である。すなわち、二つの種類の演算子について表記法が重複して使われる。このような重複した表記を使う理由は、関数がスカラー関数かベクトル関数かを見れば∇2が何であるか誤解の余地がないためである。これをベクトルラプラシアンとも呼ぶ。
∇2A≡(∇2Ax)x^+(∇2Ay)y^+(∇2Az)z^
グラディエントのカール
グラディエントのカールは常に0である。
∇×(∇T)=0
ダイバージェンスのグラディエント
ダイバージェンスのグラディエントには特に名前がなく、特別な性質も持たない。物理学で出ることはほとんどなく、重要ではない。ラプラス演算と混同しないよう注意しよう。
カールのダイバージェンス
カールのダイバージェンスは常に0である。
∇⋅(∇×A)=0
カールのカールは「ダイバージェンスのグラディエント」と「ベクトルラプラシアン」の和として表すことができる。
∇×(∇×A)=∇(∇⋅A)−∇2A
この時、∇2Aはベクトルラプラシアンであることに注意。
参照