📂微分積分学

アークタンジェント関数の級数展開

定理¹

$$ \tan ^{ -1 } x = \sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { (-1) ^{ n } { x } ^ { 2n+1 } } { 2n+1 } } $$

説明

$\arctan$として書いても$\tan ^{-1}$として書いても関係ない。いくつかの逆三角関数の中でも、アークタンジェントが特に興味深いのは、$\pi$に収束する級数を提供するからだ。$x=1$を代入すると、

$$ { \pi \over 4 } = \tan ^{-1} 1 = 1 - {1 \over 3} + {1 \over 5} - {1 \over 7} + \cdots $$

両辺に$4$を掛けると、次のように$\pi$に収束する無限級数を得る。

$$ \pi = 4 \left( 1 - {1 \over 3} + {1 \over 5} - {1 \over 7} + \cdots \right) $$

円周率の計算

アークタンジェントの級数展開と直接的な関連はないが、同じく円周率$\pi$を級数で求めるという点で、ニュートンは大きな業績を残した。

証明

$-1<t<1$から、

$$ \frac { 1 }{ 1-t }=\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ { t ^ n } } \implies \frac { 1 }{ 1+{ t ^ 2 } }=\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ { \left( -{ t ^ 2 } \right) } ^{ n } }=\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ { (-1) ^ { n } }{ t ^ {2n} } } $$

従って、

$$ \begin{align*} \tan^{ -1 }x =& \int _{ 0 }^{ x }{ \frac { 1 }{ 1+{ t ^ 2 } } }dt \\ =& \int _{ 0 }^{ x }{ \sum _{ n=0 }^{ \infty }{ { (-1) ^ { n } }{ t ^ {2n} } } }dt \\ =& { \left[ \sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { { (-1) ^ { n } }{ t ^ {2n+1} } }{ 2n+1 } } \right] }_{ 0 }^{ x } \\ =& \sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { { (-1) ^ { n } }{ x ^ {2n+1} } }{ 2n+1 } } \end{align*} $$

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