単調関数はリーマン・スティルチェス積分可能である
📂解析学単調関数はリーマン・スティルチェス積分可能である
リーマン積分について
関数fが[a,b]で単調だとしよう。その場合、fはリーマン積分可能である。
証明
fが単調増加関数であると仮定しよう。ϵ>0が与えられたとしよう。区間[a,b]の分割P={xi:a=x0<x1<x2<⋯<xn=b}が任意の自然数nに対して下記を満たすように与えられたとしよう。
Δxi=xi−xi−1=nb−a,(i=1,2,…,n)
つまりPは区間[a,b]を等分する分割である。これから以下のように置こう。
Mi=[xi−1,xi]supf(x)andmi=[xi−1,xi]inff(x)
するとfが単調増加関数であるため、以下が成り立つ。
Mi=f(xi)andmi=f(xi−1)(i=1,⋯,n)
それから、十分に大きいnに対して、以下の式が成り立つ。
U(P,f)−L(P,f)=i=1∑n(Mi−mi)Δxi=i=1∑n(Mi−mi)nb−a=nb−ai=1∑n(Mi−mi)=nb−ai=1∑n(f(xi)−f(xi−1))=nb−a[(f(x1)−f(a))+⋯(f(b)−f(xn−1))]=nb−a[f(b)−f(a)]<ϵ
これは積分可能なための必要十分条件であるため、fは積分可能である。
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スティルチェス積分について
関数fが[a,b]で単調であり、関数αも[a,b]で単調かつ連続であれば、fはリーマン-スティルチェス積分可能である。
証明
fが単調増加関数であると仮定しよう。ϵ>0が与えられたとしよう。区間[a,b]の分割P={xi:a=x0<x1<x2<⋯<xn=b}が任意の自然数nに対して下記を満たすように与えられたとしよう。
Δαi=nα(b)−α(a),(i=1,2,…,n)
言い換えればPはαの函数値を等分する分割である。これはαが連続であるという仮定により可能である。これから以下のように置こう。
Mi=[xi−1,xi]supf(x)andmi=[xi−1,xi]inff(x)
するとfが単調増加関数であるため、以下が成り立つ。
Mi=f(xi)andmi=f(xi−1)(i=1,⋯,n)
それから、十分に大きいnに対して、以下の式が成り立つ。
U(P,f,α)−L(P,f,α)=i=1∑n(Mi−mi)Δαi=i=1∑n(Mi−mi)nα(b)−α(a)=nα(b)−α(a)i=1∑n(Mi−mi)=nα(b)−α(a)i=1∑n(f(xi)−f(xi−1))=nα(b)−α(a)[(f(x1)−f(a))+⋯(f(b)−f(xn−1))]=nα(b)−α(a)[f(b)−f(a)]<ϵ
これは積分可能なための必要十分条件であるため、fは積分可能である。
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