📂解析学

分割、リーマン和、リーマン積分

分割¹

区間$[a,b]$が与えられたとしよう。$[a,b]$の分割^partition$P$を下のように定義する。

$$P := \left\{ x_{0},\ x_{1},\ \cdots, x_{n}\right\},\quad a=x_{0} <x_{1}<\cdots < x_{n} =b$$

そして、$\Delta x_{i}$を次のように定義する。

$$\Delta x_{i} :=x_{i}-x_{i-1},\quad i=1,2,\cdots,n$$

説明

簡単に言えば、分割とはある区間を分割した時、区間の両端と区間内のすべての境界点を要素として持つ集合のことだ。重要な点は、分割について話す場合、必ずどの区間についてのものかが必要だということだ。つまり、単に分割と言うことはできず、ある区間の分割と言うべきだ。

リーマン和

$f$を$[a,b]$で定義された有界関数、$P$を$[a,b]$の分割としよう。そして、$M_{i}$, $m_{i}$を以下のようだとしよう。

$$\begin{align*} M_{i} &=\sup f(x),&(x_{i-1} \le x \le x_{i}) \\ m_{i}&=\inf f(x), &(x_{i-1} \le x \le x_{i}) \end{align*}$$

すると、$U(P,f), L(P,f)$を以下のように定義し、それぞれを**$P$に対する$f$のリーマン上和、下和**^{upper and lower Riemann sum}という。

$$\begin{align*} U(P,f) &:=\sum \limits _{i=1} ^n M_{i} \Delta x_{i} \\ L(P,f) &:= \sum \limits _{i=1} ^{n} m_{i}\Delta x_{i} \end{align*}$$

説明

リーマン和は、関数の面積を区間を分割して近似するもので、区分求積法と同じだ。与えられた分割$P$に対して、上和は最大値を、下和は最小値を意味する。上和と下和の差がないほど近似した場合、それを$f$のグラフの下の面積と見なしてもいいだろう。

リーマン積分

区間$[a,b]$のすべての分割$P$に対して$\inf$を取ったものを**$[a,b]$上での$f$のリーマン上積分**^{upper Riemann integral}という。

それぞれの$P$に対するリーマン上和の最小上界として定義し、以下のように示す。

$$\begin{equation} \overline{\int _{a}^{b}} f dx := \inf \limits_{P} U(P,f) \label{eq1} \end{equation}$$

同様に、区間$[a,b]$のすべての分割$P$に対して$\sup$を取ったものを**$[a,b]$上での$f$のリーマン下積分**^{lower Riemann integral}という。

$$\begin{equation} \underline {\int _{a}^b } f dx := \sup \limits_{P} L(P,f) \label{eq2} \end{equation}$$

$f$のリーマン上積分とリーマン下積分が同じである場合、$f$は$[a,b]$でリーマン積分可能^{Riemann integrable}であると言い、以下のように表記する。

$$f \in \mathscr{R}= \left\{ f : f \text{ is Riemann integrable} \right\}$$

$\mathscr R$はリーマン積分可能な関数の集合である。そして、$(1)$と$(2)$の共通値を以下のように表記し、これを**$[a,b]$上での$f$のリーマン積分**^{Riemann integral}という。

$$\underline {\int _{a}^b } f dx = \int _{a} ^b f dx = \overline {\int _{a}^b} f dx$$

または

$$\int _{a} ^b f(x) dx$$

説明

上積分は$f$の面積を少し大きく近似したもの(上和)の中で最小のものであり、下積分は$f$の面積を少し小さく近似したもの(下和)の中で最大のものだ。だから、この二つが同じである時、$f$のグラフの下の面積を正確に近似したと言えるだろう。

さらに、$f$が有界であるため、次を満たす二つの定数$M$、$m$が存在する。

$$m \le f(x) \le M \ \ \ (a\le x\le b)$$

したがって、すべての分割$P$に対して次が成り立つ。

$$m(b-a) \le L(P,f) \le U(P,f) \le M(b-a)$$