主イデアル整域 📂抽象代数

主イデアル整域

定義 ¹

整域 $D$ の $p \ne 0$ が単元でないとする。

PID

$D$ の全てのイデアルが主イデアルである場合、$D$ を主イデアル整域^pIDと呼ぶ。

従属定義

可換環 $R$ が単位元 $1$ を持つとする。$a,b \in R$ に対して $b=ac$ を満たす $c \in R$ が存在する場合、$a$ が $b$ を割る^divideまたは$a$ が $b$ の因子^factorであると言い、$a \mid b$ のように表す。
$a \mid b$ かつ $b \mid a$ の場合、$a,b$ が連想^associatesであると言う。
$\forall a,b \in D$ と $p=ab$ に対して、$a$ か $b$ のいずれかが単元である場合、$p$ を既約元^{irreducible element}と言う。
$\forall a,b \in D$ に対して、$p \mid ab$ の場合、$p \mid a$ または $p \mid b$ の $p$ を素元^{prime element}と言う。

単位元は乗算に対する単位元 $1$、単元は乗算に対する逆元を持つ要素である。

定理 ²

$D$ が主イデアル整域であるとする。

[1]: $D$ はネーター環である。
[2]: $0$ でも単元でもない $d \in D$ は、$D$ の既約元の積として表される。
[3]: $\left$ が $D$ の極大イデアルである場合、$p$ は $D$ の既約元である。
[4]: $D$ の既約元は素元である。

説明

「主イデアル整域」という言葉は長いため、通常はPIDという略語がよく使用される。

連想は結合則とスペルは同じだが名詞形であることに注意し、$-3,3 \in \mathbb{Z}$ のように互いに単元の積で表すことができる関係である。

例

整数環 $\mathbb{Z}$

整数環 $\mathbb{Z}$ は全てのイデアルが $n \mathbb{Z} = \left< n \right>$ のように主イデアルとして表される。

全ての体 $\mathbb{F}$

ガウス整数環 $\mathbb{Z} [i]$ とアイゼンシュタイン整数環 $\mathbb{Z} [\omega]$

ガウス整数環とアイゼンシュタイン整数環はそれぞれ整数環 $\mathbb{Z}$ に純虚数 $i := \sqrt{-1}$ または $\omega := (-1)^{1/3}$ を加えた環である。

証明

[1]

ネーター環の定義: $N$ を環とする。
$N$ のイデアルが $S_{1} \le S_{2} \le \cdots$ を満たす場合、これを昇鎖^{ascending Chain}という。
昇鎖 $\left\{ S_{i} \right\}_{i \in \mathbb{N} }$ に対して、$S_{n} = S_{n+1} = \cdots$ を満たす $n \in \mathbb{n}$ が存在する場合、定常^stationaryであるという。つまり、定常昇鎖では、ある時点からイデアルがこれ以上大きくならない。
すべての昇鎖が定常である環をネーター環という。

$D$ のイデアルの昇鎖 $N_{1} \le N_{2} \le \cdots$ とその和集合 $\displaystyle N := \bigcup_{k=1}^{ \infty } N_{k}$ を考える。ある $i, j \in \mathbb{N}$ に対して $$ a \in N_{i} \\ b \in N_{j} \\ N_{i} \le N_{j} $$ とすると、$( N_{j} , + , \cdot )$ はイデアルによって定義されるため、部分環であり、$b$ の加算に対する逆元 $(-b) \in N_{j}$ が存在する。また、$ab \in N_{j}$ であるため、$(a-b), ab \in N$ であり、部分環判定法により、$N$ は $D$ の部分環である。それだけでなく、$N_{i}$ がイデアルである

ため、全ての $d \in D$ に対して $d a = a d$ であり、$da \in N$ であるため、$N$ は $D$ のイデアルである。

$D$ はPIDであるため、全てのイデアルが主イデアルであり、ある $c \in N$ に対して $N = \left< c \right>$ のように表せる。ここで、$\displaystyle N = \bigcup_{k=1}^{ \infty } N_{k}$ であるため、$c \in N$ であれば、$c \in N_{r}$ を満たす自然数 $r \in \mathbb{N}$ が存在しなければならない。$c \in N_{r}$ は、$N_{r}$ より小さいイデアルの中に $c$ を生成元とする主イデアルが存在することを意味する。数式で表すと $$ \left< c \right> \le N_{r} \le N_{r+1} \le \cdots \le N = \left< c \right> $$ となり、$N_{r} = N_{r+1} = \cdots$ である。したがって、$D$ はネーター環である。

■

[2]

$d$ が既約元であれば証明する必要はないため、単元でない $d_{1}, c_{1} \in D$ に対して、$d = d_{1} c_{1}$ のように表されるとする。

すると、$\left< d \right> \le \left< d_{1} \right>$ であり、$d_{i} := d_{i+1} c_{i+1}$ を続けて定義すると、昇鎖 $$ \left< d \right> \le \left< d_{1} \right> \le \left< d_{2} \right> \le \cdots $$ を得る。しかし、定理[1]により、この鎖が終わる $a_{r}$ が存在し、$a_{r}$ は同時に $a$ の因子である既約元となる。このように、$d$ を割る既約元を $p_{1}$ とし、単元でない $f_{1}$ に対して、$d = p_{1} f_{1}$ とすると、$\left< d \right> \le \left< f_{1} \right>$ となり、$f_{i} := p_{i+1} f_{i+1}$ を続けて定義すると、昇鎖 $$ \left< d \right> \le \left< f_{1} \right> \le \left< f_{2} \right> \le \cdots $$ を得る。これも定理[1]により、この鎖が終わる $f_{s}$ が存在し、$f_{s}$ は同時に $f_{i}$ の因子である既約元となる。

このプロセスを有限回繰り返すことで、$d$ が既約元の積として表されることが確認できる。

■

[3]

$( \implies )$

$D$ の極大イデアル $\left$ の $p$ が、$D$ の単元でない $a,b$ に対して、$p=ab$ のように表されると仮定する。

すると、$\left \le \left< a \right>$ であり、$\left = \left< a \right>$ の場合、$b$ は単元でなければならないため、実際には $\left \lneq \left< a \right>$ を得る。しかし、$\left$ が極大イデアルであるため、$\left< a \right> = D = \left< 1 \right>$ でなければならず、$a$ と $1$ は連想される。要約すると、

$\left \ne \left< a \right>$ の場合、$a$ は単元であり、
$\left = \left< a \right>$ の場合、$b$ は単元であるため、

$p$ は既約元である。

$( \impliedby )$

既約元 $p=ab$ に対して、$\left \le \left< a \right>$ と仮定する。

$a$ が単元であれば、$\left< a \right> = D$ で問題はないが、$a$ が単元でない場合、$b$ は必ず単元でなければならない。

$b$ が単元であるということは、ある $u \in D$ に対して、$bu =1$ という意味であるが、 $$ pu = abu = a $$ となるため、$\left \ge \left< a \right>$、つまり$\left = \left< a \right>$ でなければならない。要約すると、

$\left< a \right> = D$ であるか、
$\left< a \right> = \left$ である必要があるため、

$\left$ は極大イデアルとなる。

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[4]

$p$ が既約元であるとすると、$\left$ は定理[3]により極大イデアルであり、$1 \in D$ であるため、素イデアルである。

$p$ が $ab$ を割るとすると、$(ab) \in \left$ であり、$\left$ が素イデアルであるため、$a \in \left$ または $b \in \left$ である。これを別の形で表すと、$p \mid ab$ の場合、$p \mid a$ または $p \mid b$ であるため、$p$ は素元となる。

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