主イデアル整域 📂抽象代数

主イデアル整域

定義 ¹

整域 $D$ の $p \ne 0$ が単元ではないとする。

PID

$D$ のすべてのイデアルが主イデアルである場合、$D$ を principal ideal domain^pID という。

副定義

可換環 $R$ が単位元 $1$ を持つとする。$a,b \in R$ に対して $b=ac$ を満たす $c \in R$ が存在するならば、$a$ が $b$ を割る^divide または $a$ が $b$ の因子^factor であるといい、$a \mid b$ のように表す。
$a \mid b$ であり、$b \mid a$ のとき、$a,b$ を 合一元^associates という。
$\forall a,b \in D$ と $p=ab$ に対して、$a$ または $b$ のいずれかが単元であれば、$p$ を 既約元^{irreducible element} という。
$\forall a,b \in D$ に対して、$p \mid ab$ であれば、$p \mid a$ または $p \mid b$ のような $p$ を素元^{prime element} という。

単位元は掛け算に対する単位元 $1$、単元は掛け算に対する逆元を持つ要素である。

定理 ²

$D$ が主イデアル整域であるとする。

[1]: $D$ はネーター環である。
[2]: $0$ ではなく単元でもない $d \in D$ は $D$ の既約元の積で表される。
[3]: $\left$ が $D$ の極大イデアルであるならば、$p$ は $D$ の既約元である。
[4]: $D$ の既約元は素元である。

説明

「principal ideal domain」という言葉は長いため、通常はPIDという略語がよく使用される。

合一元^associates は結合法則^associative とスペルは同じだが、名詞形であることに注意しなければならず、$-3,3 \in \mathbb{Z}$ のように相互に単元^unit の積で表せる関係である。

例示

整数環 $\mathbb{Z}$

整数環 $\mathbb{Z}$ はすべてのイデアルが $n \mathbb{Z} = \left< n \right>$ のように主イデアルで表される。

すべての体 $\mathbb{F}$

ガウス整数環 $\mathbb{Z} [i]$ とアイゼンシュタイン整数環 $\mathbb{Z} [\omega]$

ガウス整数環とアイゼンシュタイン整数環はそれぞれ整数環 $\mathbb{Z}$ に純虚数 $i := \sqrt{-1}$ または $\omega := (-1)^{1/3}$ を追加した環である。

証明

[1]

ネーター環の定義: $N$ を環という。
$N$ のイデアルたちが $S_{1} \le S_{2} \le \cdots$ を満たすとき、これを 上昇連鎖条件^{ascending Chain} という。
上昇連鎖 $\left\{ S_{i} \right\}_{i \in \mathbb{N} }$ に対して、$S_{n} = S_{n+1} = \cdots$ を満たす $n \in \mathbf{n}$ が存在するならば停止^stationary という。言い換えれば、停止する上昇連鎖ではイデアルがある時点からこれ以上大きくならない。
すべての上昇連鎖が停止する環を ネーター環 という。

$D$ のイデアルの上昇連鎖 $N_{1} \le N_{2} \le \cdots$ とその合併 $\displaystyle N := \bigcup_{k=1}^{ \infty } N_{k}$ を考えよう。ある $i, j \in \mathbb{N}$ に対して $$ a \in N_{i} \\ b \in N_{j} \\ N_{i} \le N_{j} $$ とすると、$( N_{j} , + , \cdot )$ はイデアルとして定義された部分環であり、$b$ の加法に関する逆元 $(-b) \in N_{j}$ が存在する。また、$ab \in N_{j}$ なので、$(a-b), ab \in N$ であり、部分環判定法によって $N$ は $D$ の部分環になる。それだけでなく、$N_{i}$ がイデアルであるため、すべての $d \in D$ に対して $d a = a d$ であり、$da \in N$ なので $N$ は $D$ のイデアルになる。

$D$ はPIDであるため、すべてのイデアルが主イデアルであり、ある $c \in N$ に対して $N = \left< c \right>$ のように表せる。ここで $\displaystyle N = \bigcup_{k=1}^{ \infty } N_{k}$ なので、$c \in N_{r}$ を満たす自然数 $r \in \mathbb{N}$ が存在しなければならない。$c \in N_{r}$ というのは、$N_{r}$ より小さいイデアルの中に $c$ を生成元とする主イデアルが存在することを意味する。数式で書くと $$ \left< c \right> \le N_{r} \le N_{r+1} \le \cdots \le N = \left< c \right> $$ したがって、$N_{r} = N_{r+1} = \cdots$ である。以上のように、$D$ はネーター環である。

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[2]

$d$ が既約元ならば証明することはないので、単元ではない $d_{1}, c_{1} \in D$ に対して $d = d_{1} c_{1}$ のように表すと考えよう。

すると、$\left< d \right> \le \left< d_{1} \right>$ であり、$d_{i} := d_{i+1} c_{i+1}$ を続けて定義すると上昇連鎖 $$ \left< d \right> \le \left< d_{1} \right> \le \left< d_{2} \right> \le \cdots $$ を得る。しかし、定理 [1] によればこの連鎖が終わる $a_{r}$ が存在しなければならず、$a_{r}$ は同時に $a$ の因子となる既約元である。このようにして $d$ を割る既約元を $p_{1}$ とし、単元ではない $f_{1}$ に対して $d = p_{1} f_{1}$ だとすると、$\left< d \right> \le \left< f_{1} \right>$ であり、$f_{i} := p_{i+1} f_{i+1}$ を続けて定義すると上昇連鎖 $$ \left< d \right> \le \left< f_{1} \right> \le \left< f_{2} \right> \le \cdots $$ を得る。また定理 [1] によれば、この連鎖が終わる $f_{s}$ が存在しなければならず、$f_{s}$ は同時に $f_{i}$ の因子となる既約元である。

この過程を有限回繰り返すことにより、$d$ は既約元の積で表されることを確認できる。

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[3]

$( \implies )$

$D$ の極大イデアル $\left$ の $p$ が $D$ の単元でない $a,b$ に対して $p=ab$ のように表されると仮定しよう。

すると、$\left \le \left< a \right>$ となり、$\left = \left< a \right>$ となれば $b$ は単元でなければならないので、実際には $\left \lneq \left< a \right>$ を得る。しかし、$\left$ は極大イデアルなので $\left< a \right> = D = \left< 1 \right>$ でなければならず、$a$ と $1$ は合一元となる。整理すると

$\left \ne \left< a \right>$ のとき、$a$ は単元であり、
$\left = \left< a \right>$ のとき、$b$ は単元となるので

$p$ は既約元であるしかない。

$( \impliedby )$

既約元 $p=ab$ に対して $\left \le \left< a \right>$ と仮定しよう。

$a$ が単元ならば $\left< a \right> = D$ なので問題はないが、$a$ が単元でないとすると、$b$ は必ず単元でなければならない。

$b$ が単元ということは、ある $u \in D$ に対して $bu =1$ という意味なので、 $$ pu = abu = a $$ したがって $\left \ge \left< a \right>$ 、すなわち $\left = \left< a \right>$ でなければならない。整理すると、

$\left< a \right> = D$ または、
$\left< a \right> = \left$ でなければならないので、

$\left$ は極大イデアルである。

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[4]

$p$ が既約元であるならば、$\left$ は定理 [3] によって極大イデアルであり、$1 \in D$ なので素イデアルである。

$p$ が $ab$ を割るならば $(ab) \in \left$ であり、$\left$ は素イデアルであるため、$a \in \left$ または $b \in \left$ である。これを別の言葉で言い換えると、$p \mid ab$ とき $p \mid a$ または $p \mid b$ なので、$p$ は素元である。

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