📂抽象代数

固体物理학

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環 $R$ の全ての元 $r$ に対して $n \cdot r = 0$ を満たす最大の自然数 $n$ を $R$ の標数^{characteristic}と定義する。そのような自然数が存在しない場合は、$0$ を $R$ の標数として定義する。乗算に関する単位元、つまり単位元を持つ環は次のような性質を持つ。

同様に、体 $F$は素数 $p$に対して以下のような性質を持つ。

• 1’: $F$の標数が$p$であれば、$F$は$\mathbb{Z}_{p}$と同型な部分体を持つ。
• 2’: $F$の標数が$0$であれば、$F$は$\mathbb{Q}$と同型な部分体を持つ。

定義 ¹

ここで、整数体$\mathbb{Z}_{p}$と有理数体$\mathbb{Q}$を素体^{prime field}と呼ぶ。

説明

プライムという言葉がつくだけあって、極めて重要なフィールドだ。

1‘と2‘の逆を考えると、これらの素体と同型になるような部分体がなければ$F$は体ではなくなる。したがって、体であるかどうかを判断するのに役立つことができ、特に私たちにとって親しいという利点がある。

標数はニルラジカルと少し混同するかもしれないが、それぞれ加算$\displaystyle \sum_{i=1}^{n} r = nr = 0$と乗算$\displaystyle \prod_{i=1}^{n} a = a^{n} = 0$に関する概念と考えればいい。また、標数は条件を満たす最小の$n$に関心があり、ニルラジカルは条件を満たす$a$に関心がある。