リウヴィルの定理の証明
証明
$f = 0$とする。$f ( \cdot ) = \left\langle \cdot , \mathbf{0} \right\rangle$と$\| f \| = 0$を満たす$\mathbf{y} = \mathbf{0}$が存在するので証明することはないので$f \ne 0$としよう。
第1部. 存在性
ヒルベルト空間$H$の閉部分空間$W$に対して、
$$ H = W \oplus W^{\perp} $$
$W= \ker (f) = \left\{ \mathbf{x} \in H : f(\mathbf{x}) = 0 \right\}$としよう。$\ker (f)$は閉部分空間だから直交分解定理によって
$$ H = W \oplus W^{\perp} $$
で$W^{\perp} \ne \left\{ \mathbf{0} \right\}$である。だから$\left\| \mathbf{y} \right\|=1$な$\mathbf{y} \in W^{\perp}$を一つ選ぼう。$W^{\perp}$もベクトル空間なので$\mathbf{0}$でない要素が少なくとも一つあれば、そのような$\mathbf{y}$の存在は必ず保証される。そして今$\mathbf{x} \in H$に対して、次のようなベクトル$\mathbf{z} \in H$を考える。
$$ \mathbf{z} := f(\mathbf{x})\mathbf{y} - f(\mathbf{y})\mathbf{x} $$
ここで$f(\mathbf{x}), f(\mathbf{y})$は定数であることに注意しよう。この$\mathbf{z}$に線形汎函数$f$を適用すると、線形性により次を得る。
$$ f(\mathbf{z}) = f\left( f(\mathbf{x})\mathbf{y} - f(\mathbf{y})\mathbf{x} \right) = f(\mathbf{x})f(\mathbf{y}) - f(\mathbf{y})f(\mathbf{x}) = 0 $$
したがって$\mathbf{z} \in W$である。$\mathbf{y} \in W^{\perp}$と言ったので、両者の内積は$0$である。
$$ \left\langle \mathbf{z}, \mathbf{y} \right\rangle = \left\langle f(\mathbf{x})\mathbf{y} - f(\mathbf{y})\mathbf{x}, \mathbf{y} \right\rangle = 0 $$
内積を展開すると次を得る。
$$ f(\mathbf{x}) \left\langle \mathbf{y}, \mathbf{y} \right\rangle - f(\mathbf{y})\left\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \right\rangle = f(\mathbf{x}) \left\| \mathbf{y} \right\|^{2} - f(\mathbf{y})\left\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \right\rangle = f(\mathbf{x}) - f(\mathbf{y})\left\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \right\rangle=0 $$
$$ \implies f(\mathbf{x}) = f(\mathbf{y})\left\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \right\rangle = \left\langle \mathbf{x}, \overline{f(\mathbf{y})}\mathbf{y} \right\rangle $$
$\mathbf{w} = \overline{f(\mathbf{y})}\mathbf{y}$とすると$f(\mathbf{x}) = \left\langle \mathbf{x} , \mathbf{w} \right\rangle$である。またコーシー・シュワルツの不等式によって $$ \| f \| = \sup_{ \| \mathbf{x} \| =1} | f(\mathbf{x}) | = \sup_{ \| \mathbf{x} \| =1} \left| \left\langle \mathbf{x} , \mathbf{w} \right\rangle \right| \le \sup_{ \| \mathbf{x} \| =1} \| \mathbf{x} \| \cdot \| \mathbf{w} \| = \| \mathbf{w} \| $$
であり、$\left\| \dfrac{\mathbf{w}}{\left\| \mathbf{w}\right\|} \right\|=1$であるので
$$ \| f \| = \sup_{ \| \mathbf{x} \| =1} | f(\mathbf{x}) | = \sup_{ \| \mathbf{x} \| =1} \left| \left\langle \mathbf{x} , \mathbf{w} \right\rangle \right| \ge \left\langle {{ \mathbf{w} } \over { \| \mathbf{w} \| }} , \mathbf{w} \right\rangle = {{ \| \mathbf{w} \|^2 } \over { \| \mathbf{w} \| }} = \| \mathbf{w} \| $$
が成立して$\left\| f \right\| = \left\| \mathbf{w} \right\|$である。従って$\mathbf{w}$が定理の条件を満たしていることがわかる。
第2部. 一意性
今$\mathbf{w}^{\prime}$も
$$ f(\mathbf{x}) = \left\langle \mathbf{x}, \mathbf{w}^{\prime} \right\rangle $$
を満たすとしよう。
$\left( H, \left\langle \cdot,\cdot \right\rangle \right)$をヒルベルト空間とし、$x, y \in H$に対して次が成り立つとしよう：
$$ \left\langle x, y \right\rangle = \left\langle x, z \right\rangle, \quad \forall x \in H $$
すると$y = z$である。
それなら、上の補助定理によって、このような$\mathbf{w}=\mathbf{w}^{\prime}$であることがわかる。
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