t^{n}f(t)のラプラス変換
📂微分方程式t^{n}f(t)のラプラス変換
公式
関数 f(t)のラプラス変換が L{f(t)}=∫0∞e−stf(t)dt=F(s)だとしよう。すると、tnf(t)のラプラス変換は以下のようになる。
L{tnf(t)}=(−1)nF(n)(s)
導出
まず、tnf(t)のラプラス変換は、定義により以下のようになる。
∫0∞e−sttf(t)dt
積分の中をよく見てみると、e−stf(t)を sに対して微分したものと同じだとわかる。
dsd(e−stf(t))=e−st(−t)f(t)
だから
dsdF(s)=∫0∞dsd(e−stf(t))dt=∫0∞e−st(−t)f(t)dt
⟹−F′(s)=L{tf(t)}
sに対する微分を繰り返すと、次の結果が得られる。
⟹⟹⟹−F′(s)F′′(s)−F(3)(s)(−1)nF(n)(s)=∫0∞e−st(t)f(t)dt=L{tf(t)}=∫0∞e−st(t2)f(t)dt=L{t2f(t)}=∫0∞e−st(t3)f(t)dt=L{t3f(t)}⋮=∫0∞e−st(tn)f(t)dt=L{tnf(t)}
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例
1
f(t)=tsintとしよう。L{sint}=s2+11なので
L{tsint}=(s2+1)2−2s
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2
f(t)=teatcosbtとしよう。L{eatcosbt}=(s−a)2+b2sなので
L{teatcosbt}=((s−a)2+b2)4(s−a)2+b2−2(s−a)s
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参照