t^{n}f(t)のラプラス変換
公式
関数 $f(t)$のラプラス変換が $\mathcal{L} \left\{ f(t) \right\} = \displaystyle \int _{0} ^\infty e^{-st}f(t)dt = F(s)$だとしよう。すると、$t^{n}f(t)$のラプラス変換は以下のようになる。
$$ \mathcal{L} \left\{ t^n f(t) \right\} = (-1)^nF^{(n)}(s) $$
導出
まず、$t^nf(t)$のラプラス変換は、定義により以下のようになる。
$$ \int _{0} ^\infty e^{-st}tf(t) dt $$
積分の中をよく見てみると、$e^{-st}f(t)$を $s$に対して微分したものと同じだとわかる。
$$ \dfrac{d}{ds} \left( e^{-st}f(t) \right) = e^{-st}(-t)f(t) $$
だから
$$ \dfrac{d}{ds}F(s)=\int_{0}^\infty \dfrac{d}{ds} \left( e^{-st}f(t) \right) dt =\int_{0}^\infty e^{-st}(-t)f(t)dt $$
$$ \implies -F^{\prime}(s) = \mathcal{L} \left\{ tf(t) \right\} $$
$s$に対する微分を繰り返すと、次の結果が得られる。
$$ \begin{align*} && -F^{\prime}(s) &= \int_{0}^\infty e^{-st}(t)f(t)dt=\mathcal{ L} \left\{ tf(t) \right\} \\ \implies && F^{\prime \prime}(s) &= \int_{0}^\infty e^{-st}(t^2)f(t)dt=\mathcal{ L} \left\{ t^2f(t) \right\} \\ \implies && -F^{(3)}(s) &= \int_{0}^\infty e^{-st}(t^3)f(t)dt=\mathcal{ L} \left\{ t^3f(t) \right\} \\ && &\vdots \\ \implies && (-1)^nF^{(n)}(s) &= \int_{0}^\infty e^{-st}(t^n)f(t)dt=\mathcal{ L} \left\{ t^nf(t) \right\} \end{align*} $$
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例
1
$f(t)=t\sin t$としよう。$\mathcal{ L} \left\{ \sin t \right\}=\dfrac{1}{s^2+1}$なので
$$ \mathcal{ L} \left\{ t\sin t \right\}=\dfrac{-2s}{(s^2+1)^2} $$
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2
$f(t)=te^{at}\cos bt$としよう。$\mathcal{ L} \left\{ e^{at}\cos bt \right\}=\dfrac{s}{(s-a)^2+b^2}$なので
$$ \mathcal{ L} \left\{ te^{at} \cos bt \right\}=\dfrac{(s-a)^2+b^2-2(s-a)s}{\left( (s-a)^2+b^2 \right)^4} $$
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