📂動力学

トランスクリティカル分岐

定義 ^{1 2}

トランスクリティカルバイファーケーション^{transcritical bifurcation}は、力学系のパラメータ変化に伴い、2つの不動点が安定性を交換するバイファーケーションである。

ノーマルフォーム

トランスクリティカルバイファーケーションのノーマルフォームは、次のようになる: $$\dot{x} = rx - x^{2}$$

ダイアグラム

トランスクリティカルバイファーケーションのバイファーケーションダイアグラムは、次のようになる:

説明

トランスクリティカルバイファーケーションのノーマルフォームは、$r$ とは関係なく、2つの不動点 $x_{1} = 0$ と $x_{2} = r$ を持つ。2つの不動点が安定性を交換するということは、文字通り、$r = 0$ を臨界点として、2つの不動点 $x_{1} = 0$ と $x_{2} = r$ の安定性が反転するということである。

• $r < 0$: $x_{1} = 0$ は安定であり、$x_{2} = r$ は不安定である。
• $r = 0$: 2つの不動点が一つに合体し、サドルノードになる。$\dot{x} = -x^{2}$ では $x$ が何であれ常に負であるため、$x > 0$ では $x_{1} = 0$ に収束し、$x < 0$ では $x_{1} = 0$ から負の方向に発散する。
• $r > 0$: $x_{1} = 0$ は不安定であり、$x_{2} = r$ は安定である。