📂微分方程式

F(as+b)のラプラス逆変換

公式¹

関数$f(t)$のラプラス変換$\mathcal{L} \left\{ f(t) \right\}= \displaystyle \int _{0} ^\infty e^{-st}f(t)dt =F(s)$が$s>\alpha \ge 0$であるとき存在すると仮定しよう。それならば、定数$a>0 , b$に対する$F(as+b)$のラプラス逆変換は次の通りである。

$$\mathcal{L^{-1}} \left\{ F(as+b) \right\} =\frac{1}{a}e^{-\frac{b}{a}t}f\left(\frac{t}{a}\right)$$

導出

1

1. $F(ks)$のラプラス逆変換: $$\mathcal{L^{-1}} \left\{ F(ks) \right\} =\dfrac{1}{k}f\left(\frac{t}{k}\right)$$
2. ラプラス変換の平行移動: $$\mathcal{L^{-1}} \left\{ F(s-c) \right\}=e^{ct}f(t)$$

1. により、次を得る。

$$\mathcal{L^{-1}} \left\{ F(as) \right\} =\frac{1}{a}f\left(\frac{t}{a}\right)$$

$F(as)$から$F(as+b)$を導き出すには、$s$ $\to$ $s+\frac{b}{a}$であればよい。つまり、$F$を$s$方向に$-\frac{b}{a}$だけ平行移動すればよい。2. により、平行移動された$F$を求めると、

$$\begin{align*} && \mathcal{L^{-1}} \left\{ F\left( a(s+\frac{b}{a}) \right) \right\} &= \frac{1}{a} e^{-\frac{b}{a}t}f\left(\frac{t}{a}\right) \\ \implies && \mathcal{L^{-1}} \left\{ F( as+b) \right\} &= \frac{1}{a} e^{-\frac{b}{a}t}f\left(\frac{t}{a}\right) \end{align*}$$

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2

ラプラス変換の定義により、

$$\begin{align*} \mathcal{L} \left\{ \frac{1}{a} e^{-\frac{b}{a}t} f\left( \frac{t}{a} \right) \right\} &= \dfrac{1}{a}\int _{0} ^\infty e^{-st}e^{-\frac{b}{a}t}f \left( \frac{t}{a} \right) dt \\ &= \dfrac{1}{a}\int _{0} ^\infty e^{-\left(s+\frac{b}{a}\right)t}f \left( \frac{t}{a} \right) dt \end{align*}$$

それを$\dfrac{t}{a}=\tau$と置こう。すると、$\left(s+\frac{b}{a}\right)t=(as+b)\tau$であり、$dt=ad\tau$なので、

$$\begin{align*} \mathcal{L} \left\{ \frac{1}{a} e^{-\frac{b}{a}t} f\left( \frac{t}{a} \right) \right\} &= \dfrac{1}{a}\int _{0} ^\infty e^{-\left(s+\frac{b}{a}\right)t}f \left( \frac{t}{a} \right) dt \\ &= \int _{0} ^\infty e^ {-(as+b)\tau}f (\tau) d\tau \\ &= F(as+b) \end{align*}$$

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参照

• ラプラス変換表