f(ct)のラプラス変換
公式1
関数 $f(t)$のラプラス変換 $\mathcal{L} \left\{ f(t) \right\} = \displaystyle \int _{0} ^\infty e^{-st}f(t)dt = F(s)$が $s>a \ge 0$であると仮定する。すると、$c >0$に対して $f(ct)$のラプラス変換は次の通りである。
$$ \mathcal{L} \left\{ f(ct) \right\} =\dfrac{1}{c}F\left(\dfrac{s}{c}\right), \quad s>ca $$
導出
$$ \mathcal{L} \left\{ f(ct) \right\} = \int _{0} ^\infty e^{-st}f(ct)dt $$
ここで$ct=\tau$と置換する。すると、$st=\dfrac{s}{c}\tau$、$dt=\dfrac{1}{c}d\tau$であるから、
$$ \begin{align*} \mathcal{L} \left\{ f(\tau) \right\} &= \int _{0} ^{\infty} e^{-\frac{s}{c}\tau}f(\tau)\dfrac{1}{c}d\tau \\ &= \dfrac{1}{c} \int _{0} ^{\infty} e^{-\frac{s}{c}\tau}f(\tau)d\tau \\ &= \dfrac{1}{c}F\left(\dfrac{s}{c}\right) \end{align*} $$
最後の等式は仮定により成り立つ。また、仮定により$s >ca$の時、$f(ct)$のラプラス変換が存在する。
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例
1
$\mathcal{L} \left\{ \sin t \right\}=\dfrac{1}{s^2+1}$であるから
$$ \begin{align*} \mathcal{L} \left\{ \sin (at) \right\} &= \dfrac{1}{a}\dfrac{1}{{(\frac{s}{a})}^2+1} \\ &= \dfrac{1}{a}\dfrac{a^2}{s^2+a^2} \\ &= \dfrac{a}{s^2+a^2} \end{align*} $$
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2
$\mathcal{L} \left\{ \cos t \right\}=\dfrac{s}{s^2+1}$であるから
$$
\begin{align*}
\mathcal{L} \left\{ \cos (at) \right\} &= \dfrac{1}{a}\dfrac{s/a}{{(\frac{s}{a})}^2+1}
\\ &= \dfrac{1}{a}\dfrac{sa}{s^2+a^2}
\\ &= \dfrac{s}{s^2+a^2}
\end{align*}
$$
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参照
ウィリアム・E・ボイス, ボイスの初等常微分方程式及び境界値問題 (第11版, 2017年), p263 ↩︎