📂微分方程式

ステップ関数のラプラス変換

定義¹

単位階段関数を$c$だけ平行移動したものを以下のように表そう。

$$ u_{c}(t)=\begin{cases} 0 & t<c \\ 1 & t \ge c \end{cases} $$

公式

階段関数$u_{c}(t)$のラプラス変換は次の通り。

$$ \begin{equation} \mathcal{L} \left\{ u_{c}(t) \right\} = \dfrac{e^{-cs}}{s},\quad s>0 \label{eq1} \end{equation} $$

$c$を任意の定数とし、$s > a \ge 0$の時、$f(t)$のラプラス変換$F(s)$が存在するとする、すなわち$F(s)=\mathcal{L} \left\{ f(t) \right\}$とする。そうすると、$f$と$u_{c}$の積のラプラス変換は以下の通り。

$$ \begin{equation} \mathcal {L} \left\{ u_{c}(t) f(t-c) \right\} = e^{-cs} F(s) \label{eq2} \end{equation} $$

説明

扱う変数$t$は時間であるため、$t>0$となり、これは特に言及しなくても自明のこととしよう。$u_{c}(t)$のような関数は、電気回路でスイッチをオンにしたりオフにしたりする時に、特定の時間後に突然発生したり消えたりする値を描写するのに役立つ。

導出

(1)

$$ \begin{align*} \mathcal{L} \left\{ u_{c}(t) \right\} &= \int_{0}^\infty e^{-st}u_{c}(t)dt \\ &=\int_{0}^c e^{-st}\cdot 0 dt + \int_{c}^\infty e^{-st}\cdot 1 dt \\ &= \lim _{A \to \infty} -\dfrac{1}{s} \left[ e^{-st} \right]_{c}^A \\ &= \dfrac{e^{-cs}}{s} \end{align*} $$

この時、$\lim \limits_{A \to \infty } e^{-sA}=0$である必要があるので、$s>0$となる。

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(2)

$$ \begin{align*} \mathcal{L} \left\{ u_{c}(t) f(t-c) \right\} &= \int_{0} ^\infty e^{-st}u_{c}(t) f(t-c)dt \\ &= \int_{c}^\infty e^{-st} f(t-c) dt \end{align*} $$

ここで、$t-c=\tau$と置換えよう。すると、$0 \le \tau \le \infty$であり、$dt=d\tau$となる。従って、

$$ \begin{align*} \int _{0} ^\infty e^{-s(\tau+c)}f(\tau)d\tau &= e^{-cs}\int_{0}^\infty e^{-s\tau}f(\tau)d\tau \\ &= e^{-cs}F(s) \end{align*} $$

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例

$f(t)=\sin t + u_{\pi /4} (t) \cos (t-\frac{\pi}{4})$としよう。

$$ \begin{align*} \mathcal{L} \left\{ f(t) \right\} &= \mathcal{L} \left\{ \sin t \right\} + \mathcal{L} \left\{ u_{\pi /4} \cos (t-\frac{\pi}{4}) \right\} \\ &=\mathcal{L} \left\{ \sin t \right\} + e^{-\frac{\pi }{ 4 }s} \mathcal{L} \left\{ \cos t \right\} \\ &=\dfrac{1}{s^2+1} + e^{ -\frac{\pi}{4}s}\dfrac{s}{s^2+1} \\ &=\dfrac{ 1+ se^{ -\frac{\pi}{4}s}}{s^2+1} \end{align*} $$

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参照

• ラプラス変換表