📂微分方程式

指数関数のラプラス変換

式¹

$$\mathcal {L} \left\{ e^{at} \right\} = \dfrac{1}{s-a},\quad s>a$$

説明

定数関数のラプラス変換の結果と比較しよう。

$$\mathcal{L} \left\{ 1 \right\} =\dfrac{1}{s}$$

$e^{at}$のラプラス変換の結果は、$f(t)=1$の時、$F(s)$が$a$だけ平行移動したのと同じだ。当然のことながら、元の関数に$e^{at}$が掛けられたら、$\displaystyle \int e^{-st}f(t) dt$は$\displaystyle \int e^{-(s-a)t} f(t) dt$になるからだ。$s$が$s-a$に変わるのを除いては、差はなく、結果も$F(s)$から$F(s-a)$に変わる。

導出

$$\begin{align*} \mathcal{L} \left\{ e^{at} \right\} &= \int_{0}^\infty e^{-st} e^{at} dt \\ &= \int _{0} ^\infty e^{-(s-a)t}dt \\ &= \lim_{A \to \infty } \left[ -\dfrac{1}{s-a}e^{-(s-a)t} \right]_{0}^A \\ &= \dfrac{1}{s-a} \end{align*}$$

ただし、$\lim \limits_{A \to \infty} e^{-(s-a)A}$が$0$に収束すべきであるため、$s>a$

■

併せて見る

• ラプラス変換表