📂微分方程式

多項関数のラプラス変換

式¹

$$\mathcal{L} \left\{ t^p \right\} = \dfrac{ \Gamma (p+1) } {s^{p+1}},\quad s>0$$

説明

多項式のラプラス変換はガンマ関数で表される。 $t^p$の代わりに馴染みやすい形である$x^p$とすれば、一目でわかりやすいだろう。 通常、微分方程式では変数が時間について表されるため、$x$の代わりに$t$を使った。

導出

$$\begin{align*} \mathcal{L} \left\{ t^p \right\} &= \int_{0}^\infty e^{-st}t^p dt \\ &= \lim \limits_{A \to \infty} \left[ -\dfrac{1}{s} \left[ e^{-st}t^p \right] _{0}^A +\dfrac{p}{s} \int_{0}^A e^{-st}t^{p-1}dt \right] \\ &= \dfrac{p}{s} \mathcal{L} \left\{ t^{p-1} \right\} \\ &= \lim \limits_{A \to \infty} \left[ \dfrac{p}{s} \dfrac{-1}{s}\left[ e^{-st}t^{p-1} \right] _{0}^A + \dfrac{p(p-1)}{s^2}\int _{0}^A e^{-st} t^{p-2} dt\right] \\ &=\dfrac{p(p-1)}{s^2}\mathcal{L} \left\{t^{p-2} \right\} \\ & \vdots \end{align*}$$

このような方法で計算を続けると、$p$回後には次を得る。

$$\begin{align*} &=\dfrac{p(p-1)(p-2) \cdots 1}{s^p}\mathcal{L} \left\{ t^0=1 \right\} \\ &=\dfrac{p!}{s^{p+1}} \\ &=\dfrac{\Gamma (p+1) }{s^{p+1}} \end{align*}$$

ただし、$\lim \limits_{A \to \infty} e^{-sA}$が$0$に収束する必要があるので、$s>0$。

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ガンマ関数を整理した後に$s=1$を代入すると、一般的なガンマ関数の定義と同じになる。

$$\Gamma (p+1) = \dfrac{1}{s^{p+1}}\int_{0}^\infty e^{-st}t^p dt = \int_{0}^\infty e^{-t}t^p dt$$

併せて見る

• ラプラス変換表