📂バナッハ空間

リースの定理の証明

定理¹

ノルム空間$(X , \left\| \cdot \right\|)$のスカラー体を$\mathbb{C}$とする。すると

$X$は有限次元である。$\iff$ $\overline{ B ( 0 ; 1 ) }$はコンパクトである。

説明

$\overline{ B ( 0 ; 1 ) } := \left\{ x \in X : \| x \| \le 1 \right\}$は閉単位球を表す。リースの定理によれば、空間全体が有限次元かどうかを判断するには、ごく小さな領域だけを確認すればよい。普通、有限次元ノルム空間の例を考えることはあっても、その必要十分条件について悩むことはないという点で、実に数学らしい定理だと言えるだろう。

証明

戦略: 扱いやすい$\mathbb{C}^{n}$から$X$への簡単なホメオモルフィズムを与えて、$\mathbb{C}^{n}$におけるコンパクト性を$X$に移す。逆方向では、$\overline{ B ( 0 ; 1 ) }$のコンパクト性を根拠にある有限次元ベクトル空間を作り出した後、それが実際には$X$を含むことを示す。

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• $(\implies)$

  $\dim X = n$とすると、$X$の基底$\left\{ e_{1} , \cdots , e_{n} \right\}$が存在する。これに対して関数$f : ( \mathbb{C}^{n} , \| \cdot \|_{1} ) \to (X , \| \cdot \| )$を$f(\lambda_{1} , \cdots , \lambda_{n} ) : = \lambda_{1} e_{1} + \cdots + \lambda_{n} e_{n}$のように定義すると、$f$は連続な全単射である。

  $\mathbb{C}^{n}$における閉単位球$\overline{ B_{ \| \cdot \|_{1} } ( 0 ; 1 ) } = \left\{ (\lambda_{1} , \cdots , \lambda_{n}) \in \mathbb{C}^{n} \ | \ | \lambda_{1} | + \cdots + | \lambda_{n} | \le 1 \right\}$はハイネ・ボレルの定理によってコンパクトである。$f$は連続なので、$f \left( \overline{ B_{ \| \cdot \|_{1} } ( 0 ; 1 ) } \right)$もまたコンパクトである。

  一方、$\| \lambda_{1} e_{1} + \cdots + \lambda_{n} e_{n} \| \le | \lambda_{1} | + \cdots + | \lambda_{n} |$なので$\overline{ B ( 0 ; 1 ) } \subset f \left( \overline{ B_{ \| \cdot \|_{1} } ( 0 ; 1 ) } \right)$である。$\overline{ B ( 0 ; 1 ) }$はコンパクト集合$f \left( \overline{ B_{ \| \cdot \|_{1} } ( 0 ; 1 ) } \right)$の閉部分集合なのでコンパクトである。

• $(\impliedby)$

  $0 < \varepsilon < 1$とする。

$\overline{ B ( 0 ; 1 ) }$はコンパクトなので、開被覆$\displaystyle \bigcup_{x \in \overline{ B ( 0 ; 1 ) } } { B \left( x ; \varepsilon \right) }$に対して$\displaystyle \overline{ B ( 0 ; 1 ) } \subset \bigcup_{i=1}^{m} B \left( x_{i} ; \varepsilon \right)$を満たす有限部分被覆が存在する。これに対して$M := \text{span} \left\{ x_{1} , \cdots , x_{n} \right\}$とする。

$\displaystyle \overline{ B ( 0 ; 1 ) } \subset \bigcup_{i=1}^{m} B \left( x_{i} ; \varepsilon \right)$は、言い換えれば$\displaystyle \overline{ B ( 0 ; 1 ) } \subset \bigcup_{ m \in M } B \left( m ; \varepsilon \right)$が成立するということである。そもそも$ m \in \text{span} \left\{ x_{1} , \cdots , x_{n} \right\}$なので、球の直径$\varepsilon$をいくら小さく取っても上の包含関係は成立し続ける。従って$k \in \mathbb{N}$に対して

$$ \overline{ B ( 0 ; 1 ) } \subset \bigcup_{ m \in M } B \left( m ; \varepsilon \right) \subset \bigcup_{ m \in M } B \left( m ; \varepsilon^2 \right) \subset \cdots \subset \bigcup_{ m \in M } B \left( m ; \varepsilon^k \right) $$

今、零ベクトルでない任意の$x \in X$を考えると、ある$y_{k} \in M$、$\displaystyle z_{k} : = B ( 0 ; \varepsilon^k )$に対して

$$ {{ x } \over { \| x \| }} = y_{k} + z_{k} $$

$k \to \infty$のとき$z_{k} \to 0$なので

$$ y_{k} = {{ x } \over { \| x \| }} - z_{k} \to {{ x } \over { \| x \| }} \in \overline{ M } = M $$

すなわち$x \in M$なので$X \subset M$であり、$M \subset X$なので

$$ X = \text{span} \left\{ x_{1} , \cdots , x_{n} \right\} $$

従って$X$は有限次元ベクトル空間である。

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関連リンク

ユークリッド空間からの一般化

リースの定理は、ノルム空間における閉単位球$\overline{B (0;1)}$のコンパクト性を有限次元であることの同値条件として指摘する。ユークリッド空間における$k$-セル$[0,1]^{k}$はコンパクトであり、閉単位球とのホメオモルフィズムが存在するので、リースの定理は$k$-セルのコンパクト性の一般化と見なすことができる。