📂バナッハ空間

リースの補題の証明

定理¹

ノルム空間$(X , \| \cdot \| )$の部分空間$Y \subsetneq X$に対して、$Y$は閉集合だとする。すべての$\theta \in (0,1)$と$y \in Y$に対して、$\| x_{ \theta } \| = 1$と$\| x_{ \theta } - y \| > \theta$を満たす$x_{\theta} \in X$が存在する。

証明

戦略：具体的な$x_{\theta}$が存在することを示した後、$\| x_{ \theta } - y \| > \theta$が成り立つことを示す。

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$ x_{0 } \notin Y$かつ$ x_{0 } \in X$である$x_{0}$に対して、$d:= \inf \left\{ \| x_{0} - y \| : y \in Y \right\}$とする。$d=0$と仮定してみると、$\displaystyle \lim_{ n \to \infty } \| x_{0} - y_{n} \| = 0$を満たす$Y$の数列$\left\{ y_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N} }$が存在する。これはすなわち$x_{0} \in \overline{Y}$ということだが、$\overline{Y} = Y$なので$x_{0} \in Y$となって矛盾であり、$d> 0$でなければならない。

いま、$x_{0}$と$\overline{Y}$の縁との間の距離$d$よりも遠い、$\displaystyle 0 < \| x_{0} - y_{0} \| < {{d} \over {\theta }}$を満たす$y_{0} \in Y$が存在する。この$\theta$に対して$\displaystyle x_{ \theta } := {{ x_{0} - y_{0} } \over { \| x_{0} - y_{0} \| }}$とする。$y \in Y$ならば

$$ \| x_{ \theta} - y \| = \left\| {{ x_{0} - y_{0} } \over { \| x_{0} - y_{0} \| }} - y \right\| = {{1 } \over { \| x_{0} - y_{0} \| }} \left\| x_{0} - y_{0} - \| x_{0} - y_{0} \| y \right\| $$

$(y_{0} + \| x_{0} - y_{0} \| y) \in Y$であり、$\left\| x_{0} - y_{0} - \| x_{0} - y_{0} \| y \right\| \ge d$なので

$$ \| x_{ \theta} - y \| \ge {{1 } \over { \| x_{0} - y_{0} \| }} d $$

$\displaystyle \| x_{0} - y_{0} \| < {{d} \over {\theta }}$なので、次が成り立つ。

$$ \| x_{ \theta} - y \| > {{ \theta } \over {d }} d = \theta $$

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