📂数理物理学

ベクトル三重積、BAC-CAB公式

説明

上の式の左辺をベクトル三重積と呼ぶ。右辺の結果を簡単に**BAC-CAB（バックキャップ）**という。ベクトル三重積は、結果がベクトルになる3つのベクトルの掛け算の操作である。結果がベクトルになるためには、式には外積が2回入る。2つのベクトルの外積はやはりベクトルなので、再び別のベクトルと外積することができる。

結果がスカラーになる場合はスカラー三重積と呼ぶ。その形は下のようである。

$$\mathbf{A}\cdot (\mathbf{B}\times \mathbf{C})$$

ただし、内積の操作結果がスカラーであるため、内積が2回入っていたり、内積と外積の操作順序が逆の場合は間違った式になる。

$$\mathbf{A}\cdot (\mathbf{B}\cdot \mathbf{C}) \to \text{틀린 식}$$

$$\mathbf{A}\times (\mathbf{B}\cdot \mathbf{C})\to \text{틀린 식}$$

また、外積は結合法則が成り立たないため、以下のように等号が成り立たない。

$$\mathbf{A}\times (\mathbf{B}\times \mathbf{C})\neq (\mathbf{A}\times \mathbf{B})\times \mathbf{C}$$

証明

以下の証明は3次元直交座標系に関するものであり、証明ではアインシュタイン記法を使用して合計記号$\sum$を省略している。

レヴィ-チヴィタ記号を使った証明

$$\begin{align*} \mathbf{A} \times (\mathbf{ B }\times \mathbf{ C })=&\ \epsilon _{ ijk }\mathbf{e}_{i}A_{ j }(B\times C)_{ k } \\ =&\ \epsilon _{ ijk }\mathbf{e}_{i}A_{ j }(\epsilon _{ klm }B_{ l }C_{ m }) \\ =&\ \epsilon _{ ijk }\epsilon _{ klm }\mathbf{e}_{i}A_{ j }B_{ l }C_{ m } \\ =&\ (\delta _{ il }\delta _{ jm }-\delta _{ im }\delta _{ jl })(\mathbf{e}_{i}A_{ j }B_{ l }C_{ m }) \\ =&\ \delta _{ il }\delta _{ jm }\mathbf{e}_{i}A_{ j }B_{ l }C_{ m }-\delta _{ im }\delta _{ jl }\mathbf{e}_{i}A_{ j }B_{ l }C_{ m } \\ =&\ \mathbf{e}_{i}A_{ j }B_{ i }C_{ j }-\mathbf{e}_{i}A_{ j }B_{ j }C_{ i } \\ =&\ \mathbf{e}_{i}B_{ i }A_{ j }C_{ j }-\mathbf{e}_{i}C_{ i }A_{ j }B_{ j } \\ =&\ \mathbf{B}(\mathbf{A} \cdot \mathbf{C} )-\mathbf{C}(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}) \end{align*}$$

4つ目の等号は$\epsilon_{ijk}\epsilon_{klm}=\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl}$であるため成立する。

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証明を見るとわかるが、少し練習すれば、式を忘れても試験中に導出することができるくらいである。

直接計算

$$\begin{align*} & \mathbf{A} \times (\mathbf{B} \times \mathbf{C}) \\ =&\ \mathbf{A} \times \begin{vmatrix} \hat{\mathbf{x}} & \hat{\mathbf{y}} & \hat{\mathbf{z}} \\ B_{x} & B_{y} & B_{z} \\ C_{x} & C_{y} & C_{z}\end{vmatrix} \\ =&\ \mathbf{A} \times \Big[ (B_{y}C_{z}-B_{z}C_{y})\hat{\mathbf{x}} + (B_{z}C_{x}-B_{x}C_{z})\hat{\mathbf{y}} +(B_{x}C_{y}-B_{y}C_{x})\hat{\mathbf{z}} \Big] \\ =&\ \begin{vmatrix} \hat{\mathbf{x}} & \hat{\mathbf{y}} & \hat{\mathbf{z}} \\ A_{x} & A_{y} & A_{z} \\ B_{y}C_{z}-B_{z}C_{y} & B_{z}C_{x}-B_{x}C_{z} & B_{x}C_{y}-B_{y}C_{x}\end{vmatrix} \\ =&\ \Big[ A_{y}(B_{x}C_{y}-B_{y}C_{x})-A_{z}(B_{z}C_{x}-B_{x}C_{z}) \Big]\hat{\mathbf{x}} \\ &\quad +\Big[ A_{z}(B_{y}C_{z}-B_{z}C_{y})-A_{x}(B_{x}C_{y}-B_{y}C_{x}) \Big]\hat{\mathbf{y}} \\ &\quad +\Big[ A_{x}(B_{z}C_{x}-B_{x}C_{z})-A_{y}(B_{y}C_{z}-B_{z}C_{y}) \Big]\hat{\mathbf{z}} \\ =&\ (A_{y}B_{x}C_{y}+A_{z}B_{x}C_{z}-A_{y}B_{y}C_{x}-A_{z}B_{z}C_{x}) \hat{\mathbf{x}} \\ &\quad +(A_{z}B_{y}C_{z}+A_{x}B_{y}C_{x}-A_{z}B_{z}C_{y}-A_{x}B_{x}C_{y}) \hat{\mathbf{y}} \\ &\quad +( A_{x}B_{z}C_{x}+A_{y}B_{z}C_{y}-A_{x}B_{x}C_{z}-A_{y}B_{y}C_{z}) \hat{\mathbf{z}} \end{align*}$$

$$\begin{align*} & \mathbf{B}(\mathbf{A}\cdot \mathbf{C}) - \mathbf{C}(\mathbf{A}\cdot \mathbf{B}) \\ =&\ B_{x}(A_{x}C_{x}+A_{y}C_{y}+A_{z}C_{z})\hat{\mathbf{x}} -C_{x}(A_{x}B_{x}+A_{y}B_{y}+A_{z}B_{z})\hat{\mathbf{x}} \\ &\quad + B_{y}(A_{x}C_{x}+A_{y}C_{y}+A_{z}C_{z})\hat{\mathbf{y}} -C_{y}(A_{x}B_{x}+A_{y}B_{y}+A_{z}B_{z})\hat{\mathbf{y}} \\ &\quad + B_{z}(A_{x}C_{x}+A_{y}C_{y}+A_{z}C_{z})\hat{\mathbf{z}} -C_{z}(A_{x}B_{x}+A_{y}B_{y}+A_{z}B_{z})\hat{\mathbf{z}} \\ =&\ ({\color{red}A_{x}B_{x}C_{x}}+A_{y}B_{x}C_{y}+A_{z}B_{x}C_{z}{\color{red}-A_{x}B_{x}C_{x}}-A_{y}B_{y}C_{x}-A_{z}B_{z}C_{x})\hat{\mathbf{x}} \\ &\quad + (A_{x}B_{y}C_{x}+{\color{red}A_{y}B_{y}C_{y}}+A_{z}B_{y}C_{z}-A_{x}B_{x}C_{y} {\color{red}-A_{y}B_{y}C_{y}}-A_{z}B_{z}C_{y})\hat{\mathbf{y}} \\ &\quad + (A_{x}B_{z}C_{x}+A_{y}B_{z}C_{y}+{\color{red}A_{z}B_{z}C_{z}}-A_{x}B_{x}C_{z}-A_{y}B_{y}C_{z} {\color{red}-A_{z}B_{z}C_{z}})\hat{\mathbf{z}} \\ =&\ (A_{y}B_{x}C_{y}+A_{z}B_{x}C_{z}-A_{y}B_{y}C_{x}-A_{z}B_{z}C_{x}) \hat{\mathbf{x}} \\ &\quad +(A_{z}B_{y}C_{z}+A_{x}B_{y}C_{x}-A_{z}B_{z}C_{y}-A_{x}B_{x}C_{y}) \hat{\mathbf{y}} \\ &\quad +( A_{x}B_{z}C_{x}+A_{y}B_{z}C_{y}-A_{x}B_{x}C_{z}-A_{y}B_{y}C_{z}) \hat{\mathbf{z}} \end{align*}$$

二つの式が同じであるため、次の式を得る。

$$\mathbf{A} \times (\mathbf{B} \times \mathbf{C} )= \mathbf{B}(\mathbf{A} \cdot \mathbf{C} )-\mathbf{C}(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B})$$

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従結論

$$[\mathbf{A} \times (\mathbf{B} \times \mathbf{C})] +[\mathbf{B} \times (\mathbf{C} \times \mathbf{A})] +[\mathbf{C} \times (\mathbf{A} \times \mathbf{B})] = \mathbf{0}$$

証明

BAC-CAB公式により、次の式が成り立つ。

$$\begin{align*} \mathbf{A} \times (\mathbf{B} \times \mathbf{C}) =&\ \mathbf{B}(\mathbf{A} \cdot \mathbf{C}) -\mathbf{C} (\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}) \\ \mathbf{B} \times (\mathbf{C} \times \mathbf{B}) =&\ \mathbf{C}(\mathbf{B} \cdot \mathbf{A}) -\mathbf{A} (\mathbf{B} \cdot \mathbf{C}) \\ \mathbf{C} \times (\mathbf{A} \times \mathbf{B}) =&\ \mathbf{A}(\mathbf{C} \cdot \mathbf{B}) -\mathbf{B} (\mathbf{C} \cdot \mathbf{A}) \end{align*}$$

上記の式を全部足すと、次のようになる。

$$\begin{align*} & \left[\mathbf{A} \times (\mathbf{B} \times \mathbf{C})\right] +\left[\mathbf{B} \times (\mathbf{C} \times \mathbf{A})\right] +\left[\mathbf{C} \times (\mathbf{A} \times \mathbf{B})\right] \\ =&\ \mathbf{B}(\mathbf{A} \cdot \mathbf{C}) -\mathbf{C} (\mathbf{A} \cdot \mathbf{B})+\mathbf{C}(\mathbf{B} \cdot \mathbf{A}) -\mathbf{A} (\mathbf{B} \cdot \mathbf{C}) +\mathbf{A}(\mathbf{C} \cdot \mathbf{B}) -\mathbf{B} (\mathbf{C} \cdot \mathbf{A}) \\ =&\ \left[\mathbf{A}(\mathbf{C} \cdot \mathbf{B}) -\mathbf{A} (\mathbf{B} \cdot \mathbf{C})\right] +\left[\mathbf{B}(\mathbf{A} \cdot \mathbf{C}) -\mathbf{B} (\mathbf{C} \cdot \mathbf{A}) \right] +\left[\mathbf{C}(\mathbf{B} \cdot \mathbf{A}) -\mathbf{C} (\mathbf{A} \cdot \mathbf{B})\right] \\ =&\ \mathbf{0} \end{align*}$$

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