バナッハ空間
定義1
完備なノルム空間をバナッハ空間banach spaceという。
説明
完備空間とは、すべてのコーシー列が収束する空間をいう。
バナッハ空間は以下の各項をすべて満たす空間として、距離関数が定義されている上に完備性を備えており、非常に有用な空間である。
一方、バナッハ空間の例として、定義域が閉区間である連続関数の集合を考えることができる。これは非常に簡単な例であると同時に、様々な重要な定理を支えてくれるため、非常に重要な事実でもある。バナッハ空間の例には以下のものがある。
- $C[a,b]$
- $\R^{n}$
- $\mathbb{C}^{n}$
$C[a,b]$についての証明を紹介する。
証明1
Part 1. ベクトル空間
閉区間で定義された連続関数は、定数関数$f(x) = 0$を単位元として持ち、$f(x) = - f(x)$を逆元として持つ。これ以外にも、$C[a,b]$はスカラー体$\mathbb{R}$上でベクトル空間の条件をよく満たす。
Part 2. ノルム空間
$f \in C [a,b]$に対して$\| \cdot \|$を$\displaystyle \| f \| := \sup_{ a \le t \le b } | f (t) |$のように定義すると、ノルムの条件をよく満たす。
Part 3. 完備性
$\left\{ f_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}}$を$C [a,b]$のコーシー列としよう。言い換えれば、すべての$\varepsilon / 3 > 0$に対して、$n,m > N_{1}$のたびに$\| f_{n} (t) - f_{m} (t) \| < \varepsilon / 3$を満たす$N_{1} \in \mathbb{N}$が存在する。
$\mathbb{R}$は完備空間なので、固定された$t_{0} \in [a,b]$が与えられるたびに、$\displaystyle \lim_{n \to \infty} f_{n} (t_{0})$はある$f : [a,b] \to \mathbb{R}$に対して
$$ \lim_{n \to \infty} f_{n} ( t_{0} ) = f ( t_{0} ) $$
のように表せる。すると、$f_{n}$はコーシー列なので、任意の$t \in [a,b]$に対して、$m \ge N_{2}$のとき
$$ \begin{align*} | f(t) - f_{m} (t) | =& \left| \lim_{n \to \infty} f_{n} (t) - f_{m} (t) \right| \\ =& \lim_{n \to \infty} | f_{n} (t) - f_{m} (t) | \\ \le & \lim_{n \to \infty} \sup_{t \in [a,b] } | f_{n} (t) - f_{m} (t) | \\ =& \lim_{n \to \infty} \| f_{n} - f_{m} \| \\ <& \varepsilon / 3 \end{align*} $$
を満たす$N_{2}$が存在する。もちろん、関数$f$が連続関数であるという保証はまだなく、単にすべての$t \in [a,b]$に対して、最終的に$f_{n} (t)$が収束する値を関数値として持つように定義されただけである。しかし、この定義から、$f_{n}$が$f$に一様収束すること、すなわちすべての$x,y \in [a,b]$および$\varepsilon / 3 > 0$に対して、$n \ge N_{3}$のとき次を同時に満たす$N_{3} \in \mathbb{N}$が存在することを保証できる。
$$ \left| f_{n} (x) - f(x) \right| < \varepsilon / 3 \\ \left| f_{n} (y) - f(y) \right| < \varepsilon / 3 $$
あとは$f$が連続関数であることを示せばよい。
空集合でない$E \subset \mathbb{R}$に対して、$f : E \to \mathbb{R}$としよう。
$f$が連続で$E$が有界閉区間ならば、$f$は一様連続である。
$f_{n} : [a,b] \to \mathbb{R}$は連続であり、$[a,b] \subset \mathbb{R}$はコンパクトなので、$f_{n}$は$[a,b]$で一様連続である。すなわち、すべての$x,y \in [a,b]$および$\varepsilon / 3 > 0$に対して、$|x-y| < \delta$のとき次を満たす$\delta > 0$が存在することを保証できる。
$$ \left| f_{n}(x) - f_{n}(y) \right| < \varepsilon / 3 $$
以上の結果を総合すると、$|x-y| < \delta$かつ$n \ge N_{3}$のとき
$$ \begin{align*} |f(x) - f(y)| \le & \left| f (x) - f_{n} (x) \right| + \left| f_{n}(x) - f_{n}(y) \right| + \left| f_{n} (y) - f(y) \right| \\ =& \varepsilon / 3 + \varepsilon / 3 + \varepsilon / 3 \\ =& \varepsilon \end{align*} $$
を満たす$\delta > 0$と$N_{3} \in \mathbb{N}$が存在するので、$f$は$[a,b]$で一様連続であり、$f \in C[a,b]$である。任意の連続関数のコーシー列$\left\{ f_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}}$が一様にある$f \in C[a,b]$に収束するので、$C[a,b]$は完備性を持つ。
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