📂行列代数

2次行列の積の成分の和を簡単に求める公式

公式

二次行列 $\begin{bmatrix} { a }&{ b } \\ { c }&{ d } \end{bmatrix} \begin{bmatrix} { p }&{ q } \\ { r }&{ s } \end{bmatrix}$ の成分の合計は、次のようになります。 $${(a+c)(p+q)}+{(b+d)(r+s)}$$

説明

二つの二次行列を与えてその積の成分の合計を求める問題には、多く遭遇したことがあるだろう。皆が知っているように、行列を掛けることは難しくはないが、時間もかかり、とても面倒なものだ。そこで、計算を劇的に減らす公式を紹介する。

導出

$$\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} p & q \\ r & s \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} { ap+br }&{ aq+bs } \\ { cp+dr }&{ cq+ds } \end{bmatrix}$$ であるから、この行列の成分の合計は $$\begin{align*} & (ap+br)+(aq+bs)+(cp+dr)+(cq+ds) \\ =& (ap+aq+cp+cq)+(br+bs+dr+ds) \\ =& (a+c)(p+q)+(b+d)(r+s) \end{align*}$$

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