📂数値解析

マルチステップ法の収束性と誤差

定理

初期値問題 $\begin{cases} y ' = f(x,y) \\ ( y( x_{0} ) , \cdots , y(x_{p}) )= ( Y_{0} , \cdots , Y_{p} ) \end{cases}$ に対して、マルチステップ法 $$ \displaystyle y_{n+1} = \sum_{j=0}^{p} a_{j} y_{n-j} + h \sum_{j = -1}^{p} b_{j} f (x_{n-j} , y_{n-j} ) $$ が一貫性があり、初期誤差 $\displaystyle \eta (h) : = \max_{ 0 \le i \le p} | Y (x_{i} ) - y_{h} (x_{i} ) |$ が $\displaystyle \lim_{ h \to 0} \eta (h) = 0$ を満たし、$j = 0, 1, \cdots , p$ に対して $a_{j} \ge 0$ が成り立ち、$f$ がリプシッツ条件を満たせば、方法は収束し、適切な定数 $c_{1} , c_{2}$ に対して $$ \max_{ x_{0} \le x_{n} \le b} | Y (x_{n} ) - y_{h} (x_{n} ) | \le c_{1} \eta (h) + c_{2} \tau (h) $$ が成立します。特に $\eta (h) = O ( h^{m} )$ であれば、方法の収束速度は $O ( h^{m} )$ です。

説明

マルチステップ法は特定の方法を指すわけではないため、その収束性を証明することは非常に重要です。$h$ に従った誤差がどれだけ拡大するかを理解することも、実際に使うなら当然の作業です。

証明 ¹

真値 $Y_{i}$ と計算値 $y_{i}$ の差を $\epsilon_{i} : = Y_{i} - y_{i}$ と表すと、 $$ Y_{n+1} = \sum_{j=0}^{p} a_{j} Y_{n-j} + h \sum_{j = -1}^{p} b_{j} f (x_{n-j} , Y_{n-j} ) + h \tau_{n} (Y) $$

$$ y_{n+1} = \sum_{j=0}^{p} a_{j} y_{n-j} + h \sum_{j = -1}^{p} b_{j} f (x_{n-j} , y_{n-j} ) $$ 上記の二つの式を引くと、 $$ \epsilon_{n+1} = \sum_{j=0}^{p} a_{j} \epsilon_{n-j} + h \sum_{j = -1}^{p} b_{j} [ f (x_{n-j} , Y_{n-j} ) - f (x_{n-j} , y_{n-j} ) ] + h \tau_{n} (Y) $$ $f$ はリプシッツ条件を満たすので、 $$ | \epsilon_{n+1} | \le \sum_{j=0}^{p} a_{j} | \epsilon_{n-j} | + h K \sum_{j = -1}^{p} b_{j} | \epsilon_{n - j} | + h \tau_{n} (h) $$ $n$ までの $\epsilon_{i}$ の中で最も大きな誤差を表す式 $\displaystyle E_{n} := \max_{0 \le i \le n} | \epsilon_{i} |$ を使うと、 $$ | \epsilon_{n+1} | \le \sum_{j=0}^{p} a_{j} E_{n}+ h K \sum_{j = -1}^{p} | b_{j} | E_{n+1 } + h \tau_{n} (h) $$

マルチステップ法の一貫性と収束次数:初期値問題 $\begin{cases} y ' = f(x,y) \\ ( y( x_{0} ) , \cdots , y(x_{p}) )= ( Y_{0} , \cdots , Y_{p} ) \end{cases}$ に対して、マルチステップ法 $$ \displaystyle y_{n+1} = \sum_{j=0}^{p} a_{j} y_{n-j} + h \sum_{j = -1}^{p} b_{j} f (x_{n-j} , y_{n-j} ) $$ の一貫性の必要十分条件は (i) であり、収束次数 $m \in \mathbb{N}$ を持つ必要十分条件は (ii) です。

• (i): $$\begin{cases} \displaystyle \sum_{j = 0}^{p} a_{j} = 1 \\ \displaystyle - \sum_{j = 0}^{p} j a_{j} + \sum_{j = -1}^{p} b_{j} = 1 \end{cases}$$
• (ii): $i = 0, 1 , \cdots , m$ に対して、$$\sum_{j=0}^{p} (-j)^{i} a_{j} + i \sum_{j=-1}^{p} (- j )^{i-1} b_{j} = 1$$

与えられたマルチステップ法が一貫性があるため、$\displaystyle c : = K \sum_{j = -1}^{p} | b_{j} |$ とすると、 $$ | \epsilon_{n+1} | \le E_{n}+ hc E_{n+1 } + h \tau_{n} (h) $$ $ | \epsilon_{n+1} | \le E_{n+1}$ の場合 $E_{n+1} = E_{n}$ なので、 $$ | \epsilon_{n+1} | \le E_{n+1} = E_{n} \le E_{n}+ hc E_{n+1 } + h \tau_{n} (h) $$ $ | \epsilon_{n+1} | > E_{n+1}$ の場合、 $$ E_{n+1} < | \epsilon_{n+1} | \le E_{n} \le E_{n}+ hc E_{n+1 } + h \tau_{n} (h) $$ したがって、どんな場合でも、 $$ E_{n+1} \le E_{n}+ hc E_{n+1 } + h \tau_{n} (h) $$ 項を整理すると、 $$ (1 - hc ) E_{n+1} \le E_{n} + h \tau_{n} (h) $$ $h \to 0$ を仮定しているので、$h$ は $ (1 - hc ) > 0$ と $\displaystyle hc \le {{1 } \over {2}}$ を満たすほど十分に小さいと考えることができます。したがって、 $$ \begin{align*} E_{n+1} \le & {{E_{n} } \over {1 - hc}}+ {{ h \tau_{n} (h) } \over {1 - hc }} \\ \le & (1 + 2 hc ) E_{n} + 2 h \tau_{n} (h) \end{align*} $$ 再帰的に解くと、 $$ \begin{align*} E_{n} =& \max_{ x_{0} \le x_{n} \le b} | Y (x_{n} ) - y_{h} (x_{n} ) | \\ \le & e^{2c(b-x_{0})} \eta (h) + \left[ {{ e^{2c (b - x_{0} ) } - 1 } \over {c}} \right] \tau (h) \end{align*} $$

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