マルチステップ法の収束性と誤差
📂数値解析マルチステップ法の収束性と誤差
定理
初期値問題 {y′=f(x,y)(y(x0),⋯,y(xp))=(Y0,⋯,Yp) に対して、マルチステップ法
yn+1=j=0∑pajyn−j+hj=−1∑pbjf(xn−j,yn−j)
が一貫性があり、初期誤差 η(h):=0≤i≤pmax∣Y(xi)−yh(xi)∣ が h→0limη(h)=0 を満たし、j=0,1,⋯,p に対して aj≥0 が成り立ち、f がリプシッツ条件を満たせば、方法は収束し、適切な定数 c1,c2 に対して
x0≤xn≤bmax∣Y(xn)−yh(xn)∣≤c1η(h)+c2τ(h)
が成立します。特に η(h)=O(hm) であれば、方法の収束速度は O(hm) です。
説明
マルチステップ法は特定の方法を指すわけではないため、その収束性を証明することは非常に重要です。h に従った誤差がどれだけ拡大するかを理解することも、実際に使うなら当然の作業です。
証明
真値 Yi と計算値 yi の差を ϵi:=Yi−yi と表すと、
Yn+1=j=0∑pajYn−j+hj=−1∑pbjf(xn−j,Yn−j)+hτn(Y)
yn+1=j=0∑pajyn−j+hj=−1∑pbjf(xn−j,yn−j)
上記の二つの式を引くと、
ϵn+1=j=0∑pajϵn−j+hj=−1∑pbj[f(xn−j,Yn−j)−f(xn−j,yn−j)]+hτn(Y)
f はリプシッツ条件を満たすので、
∣ϵn+1∣≤j=0∑paj∣ϵn−j∣+hKj=−1∑pbj∣ϵn−j∣+hτn(h)
n までの ϵi の中で最も大きな誤差を表す式 En:=0≤i≤nmax∣ϵi∣ を使うと、
∣ϵn+1∣≤j=0∑pajEn+hKj=−1∑p∣bj∣En+1+hτn(h)
マルチステップ法の一貫性と収束次数:初期値問題 {y′=f(x,y)(y(x0),⋯,y(xp))=(Y0,⋯,Yp) に対して、マルチステップ法
yn+1=j=0∑pajyn−j+hj=−1∑pbjf(xn−j,yn−j)
の一貫性の必要十分条件は (i) であり、収束次数 m∈N を持つ必要十分条件は (ii) です。
- (i): ⎩⎨⎧j=0∑paj=1−j=0∑pjaj+j=−1∑pbj=1
- (ii): i=0,1,⋯,m に対して、j=0∑p(−j)iaj+ij=−1∑p(−j)i−1bj=1
与えられたマルチステップ法が一貫性があるため、c:=Kj=−1∑p∣bj∣ とすると、
∣ϵn+1∣≤En+hcEn+1+hτn(h)
∣ϵn+1∣≤En+1 の場合 En+1=En なので、
∣ϵn+1∣≤En+1=En≤En+hcEn+1+hτn(h)
∣ϵn+1∣>En+1 の場合、
En+1<∣ϵn+1∣≤En≤En+hcEn+1+hτn(h)
したがって、どんな場合でも、
En+1≤En+hcEn+1+hτn(h)
項を整理すると、
(1−hc)En+1≤En+hτn(h)
h→0 を仮定しているので、h は (1−hc)>0 と hc≤21 を満たすほど十分に小さいと考えることができます。したがって、
En+1≤≤1−hcEn+1−hchτn(h)(1+2hc)En+2hτn(h)
再帰的に解くと、
En=≤x0≤xn≤bmax∣Y(xn)−yh(xn)∣e2c(b−x0)η(h)+[ce2c(b−x0)−1]τ(h)
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