ベイズの定理を通して見るモンティ・ホールのジレンマ
説明
知っての通り、モンティ・ホールゲームでは、実際に賞品がどこにあっても、選択を変える方が有利だ。これを事実として受け入れるかどうかは別として、モンティ・ホールゲームを直感的に理解できない人や、数式的表現が苦手な人がいる。
便宜上、プレイヤーが自分であり、1番のドアを選んだとしよう。
この時点で、私たちは賞品に関する情報がないので、どの番号でも選ぶ確率は同じと見なさなければならない。しかし、この選択をした後、司会者が3番を開けたとする。司会者は、プレイヤーの選択と実際の賞品の位置を見て、開けるドアを選ぶ。
- もし実際に賞品が3番にあったら、3番を開けてはいけないので、3番が開く確率は$0$。
- もし賞品が実際に2番にあったら、プレイヤーが1番を選んだので2番を開けられず、3番が開く確率は$1$。
- もし賞品が実際に1番にあったら、2番でも3番でも司会者が自由に選べるので、3番が開く確率は$1/2$。
最初に、ドアを開けた行為自体がランダムに起こったわけではないという点をもう一度考えてみよう。司会者もまた、情報がない状態でどれかのドアを選んで、賞品がなかった場合、最初から2つのドアだけでゲームを始めたのと変わらない。ドアを開ける行為は決して偶然ではなく、プレイヤーの行動を見た後で、確実な誤答を消去するヒントだ。当然、プレイヤーは無作為に選ぶよりも多くの情報を持っており、最初の選択を維持するか変更するかのどちらかが有利になるのが正常だ。
司会者の選択がゲームを「アップデート」したので、ベイズの定理を使って事後確率を計算してみよう。最初の選択を維持した時、賞品が1番にある確率を$p_1$、2番に変更した時、賞品がある確率を$p_2$としよう。 $$ p_{1} = {{ 1/3 \cdot 1/2 } \over {1/3 \cdot 1/2 + 1/3 \cdot 1 + 1/3 \cdot 0}} = {{1} \over {3}} $$
$$
p_{2} = {{ 1/3 \cdot 1 } \over {1/3 \cdot 1/2 + 1/3 \cdot 1 + 1/3 \cdot 0}} = {{2} \over {3}}
$$
時々、「簡単に言えば、確率を集中させると考えればいい」という直感的な説明よりも、具体的な計算を好む人がいる。ベイズの定理を使用することで、ケースを分けながら「複雑に考える必要なく」計算だけで同じ結果を出すことができる。