ベイズの定理を通して見るモンティ・ホールのジレンマ
説明
周知の通り、モンティ・ホール問題では実際に賞品がどこにあっても選択を変える方が有利になる。これを事実として受け入れるかどうかとは別に、モンティ・ホール問題を直感的に理解できなかったり数式での表現が不得手な人がいる。
便宜上、自分がプレイヤーで、1番の扉を選んだと仮定しよう。
このとき賞品について何の情報もないので、事前確率としてどの番号を選ぶ確率も等しいと見なすべきだ。ところがこの選択を見て司会者が3番を開けたとしよう。司会者はプレイヤーの選択と賞品の位置を見て開ける扉を選ぶ：
- もし賞品が実際に3番にあったなら、3番を開けてはならないので3番が開かれる確率は $0$ だ。
- もし賞品が実際に2番にあったなら、プレイヤーが1番を選んだため2番は開けられず、3番が開かれる確率は $1$ だ。
- もし賞品が実際に1番にあったなら、2番でも3番でも司会者は自由に選べるので3番が開かれる確率は $1/2$ だ。
そもそも扉を開けるという事象自体がランダムに起きたわけではないことを再考しよう。司会者も何の情報もなく無作為に扉を開けたのなら、最初から扉が2つしかないゲームを始めたのと変わらない。扉を開けるという事象は決して偶然ではなく、プレイヤーの行動を見た後に確実な誤答を消すヒントだ。当然プレイヤーは無作為に選ぶより多くの情報を持っており、最初の選択を維持するか変えるかのどちらかが有利になるのが妥当だ。
司会者の選択がゲームを「更新」したので、ベイズの定理を使って事後確率を計算しよう。1番を維持したときに賞品がある確率を $p_1$、2番に替えたときに賞品がある確率を $p_2$ とする。 $$ p_{1} = {{ 1/3 \cdot 1/2 } \over {1/3 \cdot 1/2 + 1/3 \cdot 1 + 1/3 \cdot 0}} = {{1} \over {3}} $$
$$
p_{2} = {{ 1/3 \cdot 1 } \over {1/3 \cdot 1/2 + 1/3 \cdot 1 + 1/3 \cdot 0}} = {{2} \over {3}}
$$
時に「簡単に言えば確率を偏らせているだけだ」といった直感的な説明より具体的な計算を好む人がいる。ベイズの定理を使えば場合分けを行いながら「複雑に頭を使うことなく」計算だけで同じ結果を得られる。
メリリンの答
