パップス-グルディンの定理の証明
定理
平面上の図形 $F$ の面積を $A$ とし、$F$ を $z$ 軸で回転して得られた回転体 $W$ の体積を $V$ とする。$z$ 軸と $F$ の重心間の距離を $r$ とすると $$ V = 2 \pi r A $$
説明
パップス-ギュルダンの定理は、高校レベルでは証明できないが、回転体について学ぶときに先生たちがよく言及する定理だ。実際に大学レベルの数学を勉強すれば証明はできるが、意外と使う機会はほとんどない。
証明
主張: $F$ の重心は $\displaystyle r = {{ \iint_{F} y dA } \over {A}}$ にあるので、$\displaystyle V = 2 \pi \iint_{F} y dA $ であることを示せばいい。
パート 1.
函数 $\Phi_{1} : F ' \to F$ を $\Phi (u,v) = (0,y(u,v),z(u,v))$ のように定義すると、$\Phi_{1}$ は全単射になる。これを利用して座標を変換すると、ヤコビアンは $$ \left| \det \begin{bmatrix} \displaystyle {{\partial y } \over { \partial u }} & \displaystyle {{\partial y } \over { \partial v }} \\ \displaystyle {{\partial z } \over { \partial u }} & \displaystyle {{\partial z } \over { \partial v }} \end{bmatrix} \right| = \left| {{\partial y } \over { \partial u }} {{\partial z } \over { \partial v }} - {{\partial y } \over { \partial v }} {{\partial z } \over { \partial u }} \right| $$ 従って、$F$ の面積は $$ A = \iint_{F} dA = \iint_{F ' } \left| {{\partial y } \over { \partial u }} {{\partial z } \over { \partial v }} - {{\partial y } \over { \partial v }} {{\partial z } \over { \partial u }} \right| du dv $$
パート 2.
$ W’ := F ' \times [0, 2 \pi ]$ としよう。函数 $\Phi_{2} : W’ \to W$ を $\Phi (u,v, \theta ) = (y(u,v) \cos \theta ,y(u,v) \sin \theta ,z(u,v))$ のように定義すると、$\Phi_{2}$ は全単射になる。これを利用して座標を変換すると、ヤコビアンは $$ \begin{align*} &\left| \det \begin{bmatrix} \displaystyle {{\partial y } \over { \partial u }} \cos \theta & \displaystyle {{\partial y } \over { \partial v }} \cos \theta & \displaystyle -y \sin \theta \\ \displaystyle {{\partial y } \over { \partial u }} \sin \theta & \displaystyle {{\partial y } \over { \partial v }} \sin \theta & \displaystyle y \cos \theta \\ \displaystyle {{\partial z } \over { \partial u }} & \displaystyle {{\partial z } \over { \partial v }} & 0 \end{bmatrix} \right| \\ =& \left| - {{\partial y } \over { \partial u }} {{\partial z } \over { \partial v }} y \cos^2 \theta + {{\partial y } \over { \partial v }} {{\partial z } \over { \partial u }} y \cos^2 \theta - \left( {{\partial y } \over { \partial u }} {{\partial z } \over { \partial v }} y \sin^2 \theta - {{\partial y } \over { \partial v }} {{\partial z } \over { \partial u }} y \sin^2 \theta \right) \right| \\ =& \left| {{\partial y } \over { \partial u }} {{\partial z } \over { \partial v }} y - {{\partial y } \over { \partial v }} {{\partial z } \over { \partial u }} y \right| \\ =& y \left| {{\partial y } \over { \partial u }} {{\partial z } \over { \partial v }} - {{\partial y } \over { \partial v }} {{\partial z } \over { \partial u }} \right| \end{align*} $$ 最初の等式は、3番目の行に関するラプラス展開によって成立する。従って、$W$ の体積は $$ V = \iiint_{W} dV = \iiint_{W’} y \left| {{\partial y } \over { \partial u }} {{\partial z } \over { \partial v }} - {{\partial y } \over { \partial v }} {{\partial z } \over { \partial u }} \right| du dv d \theta $$
パート 3.
上で得られた結果を合わせると $$ \begin{align*} V =& \iiint_{W’} y \left| {{\partial y } \over { \partial u }} {{\partial z } \over { \partial v }} - {{\partial y } \over { \partial v }} {{\partial z } \over { \partial u }} \right| du dv d \theta \\ =& \int_{0}^{2 \pi } \iint_{F’} y \left| {{\partial y } \over { \partial u }} {{\partial z } \over { \partial v }} - {{\partial y } \over { \partial v }} {{\partial z } \over { \partial u }} \right| du dv d \theta \\ & = 2 \pi \iint_{F’} y \left| {{\partial y } \over { \partial u }} {{\partial z } \over { \partial v }} - {{\partial y } \over { \partial v }} {{\partial z } \over { \partial u }} \right| du dv \\ =& 2 \pi \iint_{F} y dA \end{align*} $$
■