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リプシッツ条件

定義

1次微分方程式の存在性・一意性定理のステートメントで、リプシッツ条件^{lipschitz condition}が見られる。

$D \subset \mathbb{R}^2$で定義された連続関数について、初期値問題$\begin{cases} y ' = f(x,y) \\ y( x_{0} ) = Y_{0} \end{cases}$が与えられている。$f$がすべての$(x,y_{1}) , (x , y_{2} ) \in D$及び$K > 0$に対してリプシッツ条件 $$|f(x,y_{1} ) - f(x,y_{2}) | \le K | y_{1} - y_{2} |$$ を満たすならば、$(x_{0} , Y_{0}) \in D^{\circ}$に対して適切な区間$I := [ x_{0} - \alpha , x_{0} + \alpha ]$で一意解$Y(x)$が存在する。

説明

リプシッツ条件を私たちに馴染みのある表現で書くならば、 $$\left| { f(x,y_{1} ) - f(x,y_{2}) } \over { y_{1} - y_{2} } \right| \le K$$ と表すことができる。最悪の場合でも、 $$K = \max_{(x,y) \in D} \left| {{ \partial f(x,y) } \over { \partial y }} \right|$$ だから、$f$の導関数が有界であることは似たような条件になる。これは、少なくとも初期値$( x_{0} , Y_{0} )$に関しては、関数の値が急激に変化することがないということであり、中には解きやすい問題もあるという意味になる。

このような条件は、解の安定性^stabilityという概念を説明するために必要である。仮定で与えられた初期値問題に、少々の変動$\delta (x)$、$\epsilon$が追加された $$\begin{cases} y ' (x ; \epsilon) = f(x, Y(x ;\epsilon ) ) + \delta (x) \\ Y( x_{0} ; \epsilon ) = Y_{0} + \epsilon \end{cases}$$ を考えてみよう。この二つの問題は数学的には完全に異なるものであるが、$| \delta |$及び$| \epsilon |$が十分に小さく、リプシッツ条件も満たされる場合、次のようになる。

$D \subset \mathbb{R}^2$で定義された連続関数について、初期値問題$\begin{cases} y ' (x ; \epsilon) = f(x, Y(x ;\epsilon ) ) + \delta (x) \\ Y( x_{0} ; \epsilon ) = Y_{0} + \epsilon \end{cases}$が与えられている。$f$がリプシッツ条件を満たす場合、$(x_{0} , Y_{0}) \in D^{\circ}$に対して適切な区間$I := [ x_{0} - \alpha , x_{0} + \alpha ]$及び十分に小さい$\epsilon_{0} >0$において、$| \epsilon | \le \epsilon_{0}$と$| \delta |_{\infty}$を満たす一意解$Y(x ; \delta, \epsilon )$が存在する。

微分方程式の解法において安定性が重要になるのは、数値的な近似解を気にする時だ。新しいデータが絶えず追加されており、少しの数値の変化でモデル全体を変えなければならなくなるのは厄介だ。リプシッツ条件を満たさない場合はどういう場合か例を見てみよう。初期値問題 $$\begin{cases} y ' = 100 y - 101 e^{-x} \\ y( 0 ) = 1 \end{cases}$$ の解は単純に$y = e^{-x}$で求められる。初期値を$y(0) = 1 + \epsilon$に変えると、その解は$y = e^{-x} + \epsilon e^{100x}$となるが、$| \epsilon |$がかなり小さくない限り、誤差が大きすぎる。従って、初期値を変えなかった時に得た元の解は使用が難しく、このような場合には条件が悪い^{ill-conditioned}という。逆に、増加する$x$に対して、$\displaystyle \int_{x_{0}}^{x} {{ \partial f (t, Y(t) ) } \over {\partial y }} dt$が小さな正数で有界であれば、条件が良い^{well-conditioned}という。区間$I$でリプシッツ連続な関数の集合を$C^{0,1} ( I )$と表すこともある。

参照

強いリプシッツ条件 $\implies$ リプシッツ条件 $\implies$ 局所リプシッツ条件