行列の指数関数と対数関数 📂行列代数

行列の指数関数と対数関数

定義

指数関数 $\exp$ と対数関数 $\log$ を行列に対して一般化しようとしている。

行列の指数

指数関数を行列に対して一般化した $\exp : \mathbb{C}^{n \times n} \to \mathbb{C}^{n \times n}$ は行列 $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ に対して次のように定義される。 $$ \exp A := \sum_{k=0}^{\infty} \frac{A^{k}}{k!} $$ $\exp A$ は簡単に $e^{A}$ とも表され、$A$ の 行列指数^{matrix exponential} という。

行列の対数

対数関数を行列に対して一般化した $\log : \mathbb{C}^{n \times n} \to \mathbb{C}^{n \times n}$ は $\exp A = B$ を満たす行列 $A$ と $B$ が存在する時に $A$ を $\log B$ と表し、 $A$ を $B$ の 行列対数^{matrix logarithm} という。

定理 ¹

もし二つの行列 $A, B \in \mathbb{C}^{n \times n}$ が $AB = BA$ を満たせば、次が成立する。 $$ \log AB = \log A + \log B - 2 \pi i \mathcal{U} \left( \log A + \log B \right) $$ 特に $A$ の固有値 $\mu_{k}$ と $B$ の固有値 $\nu_{k}$ に対して次の系を得られる。 $$ \log AB = \log A + \log B \iff \forall k = 1 , \cdots , n : \arg \mu_{k} + \arg \nu_{k} \in ( - \pi , \pi ] $$ ここで $\arg$ は複素数の偏角、 $\mathcal{U}$ は次のように定義された 行列アンワインディング関数^{matrix unwinding function} である。 $$ \mathcal{U} (A) := {\frac{ A - \log e^{A} }{ 2 \pi i }} \qquad , A \in \mathbb{C}^{n \times n} $$

解説

行列の指数と対数は複素数で定義される指数と対数を形式的に拡張したものである。見ての通り、行列の指数は行列の冪級数を用いて定義される。

エルミートおよび正定値行列の空間において

エルミートおよび正定値行列の空間:
エルミート行列の空間: サイズが $n \times n$ のエルミート行列の集合は次のように表される。スカラー体 $\mathbb{R}$ に対して $\mathbb{H}_{n}$ はベクトル空間である。 $$ \mathbb{H}_{n} := \left\{ A \in \mathbb{C}^{n \times n} : A = A^{\ast} \right\} $$
正定値行列の集合: サイズが $n \times n$ の正定値行列の集合を $\mathbb{P}_{n}$ と表す。 $\mathbb{P}_{n} \subset \mathbb{H}_{n}$ は $\mathbb{H}_{n}$ の凸錐である。

すべての行列の空間ではなく、エルミート行列の空間 $\mathbb{H}_{n}$ が定義域で正定値行列の凸錐 $\mathbb{P}_{n}$ が値域である $\exp : \mathbb{H}_{n} \to \mathbb{P}_{n}$ は全単射であり、その逆関数は $\log : \mathbb{P}_{n} \to \mathbb{H}_{n}$ である。特にこれらは微分同型写像である。