宇宙のエントロピーは減少しない
定理
宇宙のエントロピーは減少しない。
説明
上の命題を見てまず分かることは、「何かかっこいい」という点だ。しかし本当にかっこいいのは、これを数式的に理解した人であり、そういう人になれるように努力しよう。
証明
この宇宙は唯一であり、したがってこの宇宙の「外部」のようなものは存在しないという仮定が必要だ。
上のように、$A \to B$は不可逆、$B \to A$は可逆である循環過程を考えてみよう。この過程はいずれにせよ不可逆過程を含んでいるので、全体としては不可逆過程である。
循環過程において次が成立する。
$$ \oint {{\delta Q} \over {T}} \le 0 $$
クラウジウスの定理により、次が成立する。
$$ \oint {{\delta Q} \over {T}} = \int_{A}^{B} { { \delta Q } \over { T }} + \int_{B}^{A} { {{ \delta Q_{\text{rev} } } \over { T }} } \le 0 $$
上端と下端を整理すると次のようになる。
$$ \int_{A}^{B} { { \delta Q } \over { T }} \le \int_{A}^{B} { {{ \delta Q_{\text{rev} } } \over { T }} } $$
次の式を満たす$S$をエントロピーentropyと定義する。
$$ dS = {{ \delta Q_{\text{rev} } } \over { T }} $$
エントロピーの定義により、次を得る。
$$ \int_{A}^{B} { { \delta Q } \over { T }} \le d S $$
宇宙がただ一つの唯一のものであり、その向こうに何もないならば、外部と熱エネルギーを交換することはできないだろう。したがって、宇宙を全体の系として見たとき、すべての過程は断熱過程であり、数式的には$\delta Q = 0$でなければならない。整理すると$dS \ge 0$なので、宇宙のエントロピーは減少できない。
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