📂抽象代数

抽象代数学における剰余群

定義 ¹

$H \subset G$のすべての剰余類の集合を$G / H$としよう。$(aH) \ast\ (bH) = (ab) H$としてよく定義された二項演算$\ast$が存在する場合、$\left< G / H , * \right>$を商群^{factor group}と言う。

定理

$H \leqslant G$としよう。$H \triangleleft G$であることと$G / H$が群であることは同値だ。

説明

$H \triangleleft G$ということは、$H$が$G$の正規部分群であるということだ。

二項演算$\ast$は剰余類の代表元だけで計算する二項演算で、集合$G / H$が商群を形成するようにする。$G / H$がなぜ群を形成するか直感的に理解できないなら、剰余類の概念が誤っている可能性が高い。

証明

$( \implies )$ $(aH) (bH) = (ab) H$であることを示せばよい。

$H$は正規部分群なので、$h_{1} b \in H b$の場合、$b h_{3} \in bH$を満たす何らかの$h_{3} \in H$が存在する。$ah_{1} \in aH$と$bh_{2} \in H$に対して $$(ah_{1}) (b h_{2}) = a(h_{1} b)h_{2} = a b h_{3} h_{2} = ab (h_{3} h_{2}) \in (ab) H$$ したがって$(aH) (bH) \subset (ab) H$であり、このプロセスを逆にすると$(ab) H \subset (aH) (bH)$であるから $$(aH) (bH) = (ab) H$$

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$( \impliedby )$ $gH = Hg$であることを示せばよい。

$x \in gH$そして$g^{-1} \in g^{-1} H$の場合 $$(xH) (g^{-1} H) = (x g^{-1}) H$$ なので、$h := x g^{-1} \in H$でなければならない。一方で $x = hg$なので $$x \in Hg$$ したがって$gH \subset Hg$であり、このプロセスを逆にすると$Hg \subset gH$であるから $$gH = Hg$$

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