チホノフの定理の証明
概要
インデックス集合 $\mathscr{A}$ が与えられているとする。
$\left\{ X_{\alpha} \ | \ \alpha \in \mathscr{A} \right\}$ が コンパクト 空間の集合であれば、$\displaystyle X : = \prod_{\alpha \in \mathscr{A}} X_{ \alpha}$ はコンパクトである。
説明
この定理は一見すると些細な性質のように見えるが、実際はその逆だ。些細に見えても、意外にも証明が非常に難しく、そのために名前がつけられたのだ。位相空間のデカルト積に関してもコンパクト性が保持されるというのは、非常に役立つことだ。
証明
$U_{\alpha} \subset X_{\alpha}$ を $X_{\alpha}$ のオープン集合とし、射影 $p_{\alpha} : X \to X_{\alpha}$ に対して、次のように $X$ の積位相を生成する部分基底を定義する。 $$ \mathscr{S} : = \left\{ p_{\alpha}^{-1} ( U_{\alpha} ) \ | \ U_{\alpha} \subset X_{\alpha} , \alpha \in \mathscr{A} \right\} $$ アレクサンダ－部分基底定理を利用するために、$\mathscr{S}$ の全てのオープンカバーが有限部分カバーを持つことを示そう。
アレクサンダ－部分基底定理: $X$ が位相空間だとする。 $X$ はコンパクトである。$\mathscr{S}$ のメンバーで構成される $X$ の全てのオープンカバーが有限部分カバーをもたらすような $X$ のいくつかの部分基底 $\mathscr{S}$ が存在する。
パート1.
有限部分カバーを持たないオープンカバー $\mathscr{U} \subset \mathscr{S}$ が存在すると仮定する。
$V$ を $X_{\alpha}$ からのオープン集合とする。全ての $\alpha \in \mathscr{A}$ に対して $$ \mathscr{U}_{\alpha} = \left\{ V \mid p_{\alpha}^{-1} (V) \in \mathscr{U} \right\} $$ とすると、$\mathscr{U}$ は次のようになる。 $$ \mathscr{U} = \bigcup_{\alpha \in \mathscr{A}} \left\{ p_{\alpha}^{-1} (V) \ | \ V \in \mathscr{U}_{\alpha} \right\} $$
パート2. $\mathscr{U}_{\alpha}$ が $X_{\alpha}$ のオープンカバーではないことを示す。
$\mathscr{U}_{\alpha}$ が $X_{\alpha}$ をカバーすると仮定する。
$X_{\alpha}$ はコンパクトであるため、$\displaystyle X_{\alpha } = \bigcup_{i=1}^{n} U_{\alpha_{i}}$ を満たす $U_{\alpha_{1}} , \cdots , U_{\alpha_{n}} \in \mathscr{U}_{\alpha}$ が存在する。それならば $$ \left\{ p_{\alpha}^{-1} ( U_{\alpha_{i}} ) \ | \ i = 1, \cdots , n \right\} $$ は、パート1での $\mathscr{U}$ の定義と矛盾する、$\mathscr{U}$ の有限部分カバーとなる。従って、$\mathscr{U}_{\alpha}$ は $X_{\alpha}$ をカバーできない。
パート3.
$\mathscr{U}_{\alpha}$ が $X_{\alpha}$ のカバーではないため、全ての $U_{\alpha} \in \mathscr{U}_{\alpha}$ に対して、$x_{\alpha} \notin U_{\alpha}$ を満たす $x_{\alpha} \in X_{\alpha}$ が存在する。それならば、全ての $U \in \mathscr{U}$ に対して、$p_{\alpha}^{-1} (x_{\alpha} ) \notin U$ であり、$\mathscr{U}$ は $X$ をカバーできない。これは、有限部分カバーを持たないオープンカバー $\mathscr{U} \subset \mathscr{S}$ が存在しないことを意味する。アレクサンダ－部分基底定理によって、$X$ はコンパクトである。
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