指数分布の平均と分散
📂確率分布論指数分布の平均と分散
公式
X∼exp(λ) 面
E(X)=λ1Var(X)=λ21
証明
戦略: 指数分布の定義から直接推論する。
指数分布の定義: λ>0に対する以下のような確率密度関数を持つ連続確率分布exp(λ)を指数分布という。
f(x)=λe−λx,x≥0
平均
E(X)=∫0∞x⋅λe−λxdx
λx=tと置く場合、λdx=dtとなるので
∫0∞te−tλ1dt===λ1⌈−e−t(t+1)⌉0∞λ1(0−(−1))λ1
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分散
E(X2)=====∫0∞x2λe−λxdxλ21∫0∞t2e−tdtλ21⌈−e−t(t2+2t+2)⌉0∞λ21(0−(−2))λ22
従って
Var(X)=λ22−(λ1)2=λ21
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