📂動力学

相関関係次元

定義 ^{1 2}

距離空間 $\left( X , d \right)$ における 集合 $S = \left\{ x_{1} , \cdots , x_{n} \right\} \subset X$ の要素を $x \in S$ のように表そう。中心が $x$ で半径が $\varepsilon > 0$ の オープンボール $B \left( x ; \varepsilon \right)$ に含まれる $S$ の要素の数を $N_{x} ( \varepsilon )$ とする: $$N_{x} ( \varepsilon ) := \left| B \left( x ; \varepsilon \right) \cap S \right|$$ もし次のような極限が存在するならば、これを $x$ での点別次元^{pointwise dimension at $x$} という。 $$\lim_{\varepsilon \to 0} {\frac{ \log N_{x} (\varepsilon) }{ \log \varepsilon }}$$ $\varepsilon$ が与えられているとき、$C ( \varepsilon )$ を次のように定義する。 $$\begin{align*} C (\varepsilon) =& {\frac{ \left| \left\{ (u, v) \in S \times S : d (u, v) < \varepsilon \right| \right\} }{ \left| S \times S \right| }} \\ =& {\frac{ 1 }{ n }} \sum_{x \in S} {\frac{ N_{x} ( \varepsilon ) }{ n }} \end{align*}$$ もし次のような極限 $\operatorname{cordim} (S)$ が存在するならば、これを $S$ の 相関次元^{correlation dimension}という。 $$\operatorname{cordim} (S) = \lim_{\varepsilon \to 0} {\frac{ \log C (\varepsilon) }{ \log \varepsilon }}$$

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• $\left| \cdot \right|$ は 集合の基数である。

説明

相関次元は、その公式上 次元の呪いを受けないため、ボックス・カウント次元 などの他の フラクタル次元 に比べて計算上の利点がある。ボックス・カウント次元は $X$ の次元が増えるにつれて扱わなければならない空間の軸が多くなり、ボックスを分割すること自体が容易でなくなる。

定義そのものでは集合 $S$ がどのような条件を満たすべきかに言及していないが、動力学系の観点からは主に マップ $x_{t+1} = f \left( x_{t} \right)$ のように表現されるシステムで $n$ 回のイテレーション^iterationを通じて得られる トラジェクトリー $S = \left\{ x_{1} , \cdots , x_{n} \right\}$ を考えることができる。この意味で $N_{x} (\varepsilon)$ はシステムの状態が $x$ 近傍にどのくらい頻繁に訪れるかを、$N_{x} (\varepsilon) / n$ は長さが $n$ の全トラジェクトリーに含まれる点が $x$ の近くにどのくらい長く留まるかをパーセンテージで示す。そして $S$ 全体でその平均として定義される $C (\varepsilon)$ は $\varepsilon = 0$ の場合 $1 / n$、$\varepsilon = \infty$ の場合 $1$ の値を持つ: $$\begin{align*} C ( 0 ) =& {\frac{ 1 }{ n }} \to 0 \text{ as } n \to \infty \\ C ( \infty ) =& 1 \end{align*}$$

典型的にはこのような $C \left( \varepsilon \right)$ は半径 $\varepsilon$ に対して次のようにべき則^{power law}に従うとされている。 $$C ( \varepsilon ) \approx \varepsilon^{d}$$ これにより我々は $d$ を相関次元と呼び、数値的には公式そのままに $\log C$ と $\log \varepsilon$ の値を比較してその勾配で決定する。

関連項目

• 相関
• フラクタル
• ハウスドルフ次元
• 類似次元
• ボックス・カウント次元
• 相関次元