📂位相幾何学

ベールの範疇定理の証明

定義

位相空間$X$のすべての稠密な開集合の数列$\left\{ O_{n} \right\}_{n=1}^{\infty}$に対して$\displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty} O_{n}$が稠密な空間をベール空間^{Baire space}という。

ベールの範疇定理¹

すべての完備距離空間はベール空間である。

証明

Claim: すべての開集合$U \subset X$に対して$\displaystyle U \cap \left( \bigcap_{n=1}^{\infty} O_{n} \right) \ne \emptyset$である。

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Part 1.

$X$は距離空間なので、開集合はある$x^{ \ast } \in X$と$r^{ \ast } > 0$に対して次のように表せる。 $$ U = B (x^{ \ast },r^{ \ast }) $$

$O_{1}$が$X$で稠密な集合なので、任意の$x_{0} \in X$と$r_{0} > 0$に対して $$ x_{1} \in \left( B(x_{0},r_{0}) \cap O_{1} \right) $$ が存在する。$B(x_{0},r_{0})$と$O_{1}$が開集合なので、 $$ B[x_{1} , r_{1} ] \subset \left( B(x_{0}, r_{0}) \cap O_{1} \right) $$ を満たす$x_{1} \in O_{1}$と$0< r_{1} < 1$が存在する。

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Part 2.

同様に$O_{2}$が$X$で稠密な集合なので、 $$ x_{2} \in \left( B(x_{1},r_{1}) \cap O_{2} \right) $$ が存在する。$B(x_{1},r_{1})$と$O_{2}$が開集合なので、 $$ B[x_{2} , r_{2} ] \subset \left( B(x_{1}, r_{1}) \cap O_{2} \right) $$ を満たす$x_{2} \in O_{2}$と$\displaystyle 0< r_{2} < {{1} \over {2}}$が存在する。

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Part 3.

これを繰り返すと $$ B[x_{n}, r_{n}] \subset \left( B(x_{n-1}, r_{n-1}) \cap O_{n} \right) $$ を満たす$x_{n} \in O_{n}$と$\displaystyle 0 < r_{n} < {{1} \over {n}}$を取り続けることができる。$X$は完備空間なので、コーシー数列$\left\{ x_{n} \right\}$はある$x \in B[x_{n},r_{n}] $に収束する。すべての$n \in \mathbb{N}$に対して $$ x \in B[x_{n},r_{n}] \subset B(x_{0},r_{0}) $$ であり$x \in O_{n}$なので、次が成立する。 $$ B(x_{0},r_{0}) \cap \left( \bigcap_{n=1}^{\infty} O_{n} \right) \ne \emptyset $$

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説明

ベールの範疇定理は、ある集合の濃度を求めたり、関数解析などで補題として有用に使われる。