📂位相幾何学

一点コンパクト化

定義 ¹

位相空間 $(X , \mathscr{T})$について$\infty \notin X$であるとしよう。$X_{\infty} := X \cup \left\{ \infty \right\}$について、以下の二つの条件を満たす位相$\mathscr{T}_{\infty}$を定義した$(X_{\infty } , \mathscr{T}_{\infty} )$を$(X, \mathscr{T})$の一点コンパクト化^{one-Point Compactification}という。

• (i): $\infty \notin U \implies U \in \mathscr{T}_{\infty}$と$U \in \mathscr{T}$は同値である。
• (ii): $\infty \in U \implies U \in \mathscr{T}_{\infty}$と$X_{\infty} \setminus U$が閉じていてコンパクトであることは同値である。

定理

$(X_{\infty } , \mathscr{T}_{\infty} )$は次の性質を持つ。

• [1]: $(X , \mathscr{T})$は$(X_{\infty } , \mathscr{T}_{\infty} )$の部分空間である。
• [2]: $(X_{\infty } , \mathscr{T}_{\infty} )$はコンパクトである。
• [3]: $\overline{X} = X_{\infty}$であることと$X$がコンパクトでないことは同値である。

説明

もちろん一点の記号が無限大であるだけで、何らかの大きさや状態を表すわけではない。

例えば次のように開区間$(0,1)$とその外の点$\infty$を取ってみよう。

ここで$(0,1)$を「曲げて」曲線にすると考えてみよう。

与えられた区間は両端点$0$と$1$を含まない。ここで接合部を$\infty$でつなぐと次のような形になる。

このような閉曲線は知っての通りコンパクトである。

$X$の外の一点をよりによって$\infty$と定義する理由は、リーマン球面へとつながる議論を考えてみれば妥当である。