📂微分積分学

指数関数、正弦関数、余弦関数のテイラー展開

要旨¹

$$\begin{equation} { { e ^ x } }=\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { { x } ^{ n } }{ n! } } \end{equation}$$

$$\begin{equation} \sin x=\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { { x } ^{ 2n+1 } }{ (2n+1)! }{ { (-1) }^{ n } } } \end{equation}$$

$$\begin{equation} \cos x=\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { { x } ^{ 2n } }{ (2n)! }{ { (-1) }^{ n } } } \end{equation}$$

説明

指数関数、サイン関数、コサイン関数のMaclaurinシリーズは、難しい技術を使わずに簡単に求めることができる。これら３つを上手く合わせると、その有名なEulerの公式になる。ヒントとして、サインは次数が奇数の項のみ、コサインは次数が偶数の項のみ持つことを覚えておくといい。

証明

$(1)$

${ \left( { { e ^ x } } \right) ^{ (n) } }={ { e ^ x } }$ のため

$${ { e ^ x } }=\frac { { x } ^{ 0 } }{ 0! } { e }^{ 0 } +\frac { { x } ^{ 1 } }{ 1! } { e }^{ 0 } +\frac { { x } ^{ 2 } }{ 2! } { e }^{ 0 } + \cdots =\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { { x } ^{ n } }{ n! } }$$

■

$(2)$

$k=0,1,2, \cdots$ に関して

$${ (\sin x) } ^{ (n) }= \begin{cases} \cos x & , n=4k+1 \\ \pm \sin x & , n=2k \\ -\cos x & , n=4k+3 \end{cases}$$

だから

$${ (\sin 0) } ^{ (n) }=\begin{cases} 1 & , n=4k+1 \\ 0 & , n=2k \\ -1 & , n=4k+3 \end{cases}$$

そして、シリーズ形式で表すと

$$\begin{align*} \sin x =& \frac { { x } ^{ 0 } }{ 0! }0+\left( \frac { { x } ^{ 1 } }{ 1! }1+\frac { { x } ^{ 2 } }{ 2! }0+\frac { { x } ^{ 3 } }{ 3! }(-1)+\frac { { x } ^{ 4 } }{ 4! }0 \right) + \cdots \\ =& \frac { x }{ 1! }-\frac { { x } ^{ 3 } }{ 3! }+\frac { { x } ^{ 5 } }{ 5! }-\frac { { x } ^{ 7 } }{ 7! }+ \cdots \\ =& \sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { { x } ^{ 2n+1 } }{ (2n+1)! }{ { (-1) }^{ n } } } \end{align*}$$

まとめると、$\displaystyle \sin x=\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { { x } ^{ 2n+1 } }{ (2n+1)! }{ { (-1) }^{ n } } }$ を得る。

■

$(3)$

$k=0,1,2, \cdots$ に関して

$${ (\cos x) }^{ (n) } = \begin{cases} \cos x & , n=4k \\ \pm \sin x & , n\neq 2k \\ -\cos x & , n=4k+2 \end{cases}$$

だから

$${ (\cos 0) } ^{ (n) } = \begin{cases} 1 & , n=4k \\ 0 & , n\neq 2k \\ -1 & , n=4k+2 \end{cases}$$

そして、シリーズ形式で表すと

$$\begin{align*} \cos x =& \left( \frac { { x } ^{ 0 } }{ 0! }1+\frac { { x } ^{ 1 } }{ 1! }0+\frac { { x } ^{ 2 } }{ 2! }(-1)+\frac { { x } ^{ 3 } }{ 3! }0 \right) +\frac { { x } ^{ 4 } }{ 4! }1+ \cdots \\ =& \frac { 1 }{ 0! }-\frac { { x } ^{ 2 } }{ 2! }+\frac { { x } ^{ 4 } }{ 4! }-\frac { { x } ^{ 6 } }{ 6! }+ \cdots \\ =& \sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { { x } ^{ 2n } }{ (2n)! }{ { (-1) }^{ n } } } \end{align*}$$

まとめると、$\displaystyle \cos x=\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { { x } ^{ 2n } }{ (2n)! }{ { (-1) }^{ n } } }$ を得る。

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