ディリクレ境界条件が与えられた波動方程式の初期値問題の解
説明
$$ \begin{cases} u_{tt} = c^2 u_{xx} \\ u(0,x) = f(x) \\ u_{t}(0,x) = g(x) \\ \end{cases} $$
この方程式は、波動方程式から長さが$l$の$1$次元空間上のディリクレ境界条件である。
$$ \begin{cases} u(t,0) = \alpha (t) \\ u(t,l) = \beta (t) \end{cases} $$
これは$\alpha = \beta = 0$が与えられ、波形に関する初期条件がある場合だ。このような問題タイプの中で最も簡単で単純な形だ。ここで、$t$は時間、$x$は位置、$u(t,x)$は時間$t$のときの$x$での波形を表す。$f$と$g$は初期条件として、特に$f$は$t=0$のときの波形を表す。
境界条件が与えられる場合、ダランベールの公式は使えなくなり、熱方程式を解くときと似たアイデアが使われる。
解法
ステップ 1.
解が$u(t,x) = w(t) v(X)$と表されると仮定すると、波動方程式を解かなければならないので、$w’’(t) v(x) = c^2 w(t) v ''(x)$をきれいに整理すると、
$$ {{w’’(t)} \over {w(t) } } v(x) = c^2 {{v ''(x)} \over {v(x)}} = \lambda $$
ここで、
$$ {{\partial } \over { \partial x }} \lambda = {{\partial } \over { \partial x }} \left( {{w’’(t)} \over {w(t) } } \right) = 0 $$
かつ、
$$ {{\partial } \over { \partial t }} \lambda = {{\partial } \over { \partial x }} \left( c^2 {{v ''(x)} \over {v(x) } } \right) = 0 $$
従って、$\lambda$は定数である。
ステップ 2.
$\lambda$が定数であることが保証されたので、2次微分方程式$w’’ - \lambda w = 0$と$\displaystyle v '' - {{\lambda} \over {c^2}} v = 0$をそれぞれ解けばよい。解は$\lambda$の前の符号が熱方程式を解く場合と異なるため、$\lambda <0$のときに非自明な解が得られるだろう。
$\displaystyle \omega := {{ n \pi c} \over {l}}$の解は上の形で表される。特に方程式を解く基本解は$\displaystyle u_{n}(t,x) = \cos {{n \pi c t} \over {l}} \sin {{ n \pi x} \over {l}}$と$\displaystyle \tilde{u} _{n}(t,x) = \sin {{n \pi c t} \over {l}} \sin {{ n \pi x} \over {l}}$である。従って、ある$b_{n}, d_{n}$に対する解は、
$$ u(t,x) = \sum_{n = 1}^{\infty} \left[ b_{n } \cos {{n \pi c t} \over {l}} \sin {{ n \pi x} \over {l}} + d_{n} \sin {{n \pi c t} \over {l}} \sin {{ n \pi x} \over {l}} \right] $$
上記のように表される。
ステップ 3. 初期条件に対するフーリエ展開
$$ u(0,x) = \sum_{n=1}^{\infty} \left[ b_{n } \sin {{ n \pi x} \over {l}} \right] = f(x) $$
なので、
$$ b_{n} = \left< f(x) , \sin {{n \pi x } \over {l}} \right> = {{2} \over {l}} \int_{0}^{l} f(x) \sin {{n \pi x} \over {l}} dx $$
そして、
$$ u_{t}(0,x) = \sum_{n=1}^{\infty} \left[ d_{n } {{n \pi c} \over {l}} \sin {{ n \pi x} \over {l}} \right] = g(x) $$
であるため、
$$ d_{n} = {{l} \over {n \pi c}} \left< g(x) , \sin {{n \pi x } \over {l}} \right> = {{2} \over { n \pi c }} \int_{0}^{l} g(x) \sin {{n \pi x} \over {l}} dx $$
このようになる。
$$ u(t,x) = \sum_{n=1}^{\infty} \left[ {{2} \over {l}} \int_{0}^{l} f(x) \sin {{n \pi x} \over {l}} dx \cos {{n \pi c t} \over {l}} \sin {{ n \pi x} \over {l}} + {{2} \over { n \pi c }} \int_{0}^{l} g(x) \sin {{n \pi x} \over {l}} dx \sin {{n \pi c t} \over {l}} \sin {{ n \pi x} \over {l}} \right] $$
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