📂偏微分方程式

波動方程式に対するコーシー問題の解

説明

$$\begin{cases} u_{tt} = c^2 u_{xx} \\ u(0,x) = f(x) \\ u_{t}(0,x) = g(x) \end{cases}$$

この式は、次の波動方程式で、密度^density$\rho (x) > 0$と剛性^stiffness$\kappa (x) > 0$が両方とも定数である場合を指しており、$\displaystyle c : = {{\kappa} \over {\rho}}$を波速^{wave speed}と言う。

ここで、$t$は時間、$x$は位置、$u(t,x)$は時間$t$における波形を示す。$t$は時間、$x$は位置、$u(t,x)$は時間$t$で$x$の位置の波形を示す。$f$と$g$は初期条件で、特に$f$は時間$t=0$での波形を示す。

コーシー問題とは、初期値が与えられた波動方程式で境界条件がない場合を指す。この場合の解は単純な式の形で表され、これをダランベールの式と呼ぶ。

解決

• ステップ 1. $\Box u : = (\partial_{t}^{2} - c^2 \partial_{x}^{2} ) u = u_{tt} - c^2 u_{xx} = 0$

  線形作用素$\Box$を上記のように定義すると、

  $$\Box = (\partial_{t}^{2} - c^2 \partial_{x}^{2} ) = (\partial_{t} + c \partial_{x} ) (\partial_{t} - c \partial_{x} )$$

  つまり$\ker ( \Box )$のどの要素$u$も、与えられた方程式の解となる。

  ここで、$u \in \ker ( \Box )$は$u(t,x) = p (x - ct) + q(x + ct)$のように表せる。

• ステップ 2.

  初期条件より、$f(x) = u(0,x) = p(x) + q(x)$である。したがって、

  $$p(x - ct) = {{f(x +ct) + f(x - ct) } \over {2}}$$

• ステップ 3.

  初期条件より、$f ' (x) = p '(x) + q’(x)$である。そして、$g(x ) = u_{t} (0,x) = -c p '(x) + c q’ (x)$である。

  $$\begin{align*} &\begin{cases} p '(x) = \dfrac{1}{2} f '(x) + \dfrac{1}{2}g(x) \\ q’(x) = \dfrac{1}{2} f '(x) + \dfrac{1}{2} g(x) \end{cases} \\ \implies& \begin{cases} p(x) = \dfrac{1}{2} f(x) + \dfrac{1}{2} \displaystyle \int_{0}^{x} g(z) dz + a \\ q(x) = \dfrac{1}{2} f(x) + \dfrac{1}{2} \displaystyle \int_{0}^{x} g(z) dz - a \end{cases} \\ \implies& q(x + ct) = \dfrac{1}{2c} \displaystyle \int_{x - ct}^{x + ct} g(z) dz \end{align*}$$

• ステップ 4. ダランベールの式

  まとめると、

  $$u(t,x) = {{f(x +ct) + f(x - ct) } \over {2}} + {{1} \over {2c}} \int_{x - ct}^{x + ct} g(z) dz$$

  を得る。

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