📂測度論

測度論におけるレヴィの定理の証明

定理 ¹

もし $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \int |f_{k}| dm < \infty$ ならば、$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} f_{k} (x)$ は ほとんど至る所で 収束して ルベーグ積分可能で、その積分は具体的に以下の通りである。 $$ \int \sum_{k=1}^{\infty} f_{k} dm = \sum_{k=1}^{\infty} \int f_{k} dm $$

証明

パート１. $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} f_{k} (x)$ がほとんど至る所で収束してルベーグ積分可能であること

$\displaystyle \phi (x) := \sum_{k=1}^{\infty} | f_{k} (x) |$ と定義すると、$\phi$ は非負の可測関数である。

単調収束定理の系: 関数値が非負の可測関数の列 $\left\{ f_{n} \right\}$ が $f_{n} \nearrow f$ を満たすとする。それならば $$\int \sum_{n=1}^{\infty} f_{n} dm = \sum_{n=1}^{\infty} \int f_{n} dm$$

単調収束定理により $$ \displaystyle \int \phi dm = \sum_{n=1}^{\infty} \int | f_{k} | dm $$ となるが、仮定により $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \int |f_{k}| dm < \infty$ だったので、$\int \phi dm$ は有限な値をとり $\phi$ はルベーグ積分可能、つまり $\phi \in \mathcal{L}^{1}$ である。したがって、$\phi$ はほとんど至る所で有限であり、定義そのものから $$ \sum_{k=1}^{\infty} \left| f_{k} \right| = \phi < \infty $$ であるから、$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} | f_{k } (x) |$ はほとんど至る所で収束し、$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} f_{k } (x)$ もほとんど至る所で収束する。一方 $$ \begin{align*} \left| \sum_{ k=1 }^{ n } f_{k} (x) \right| \le & \sum_{ k=1 }^{ n } \left| f_{k} (x) \right| \\ \le & \sum_{k=1}^{\infty} \left| f_{k} (x) \right| \\ = & \phi (x) \end{align*} $$ なので、すべての $n \in \mathbb{N}$ に対して不等式 $\displaystyle \left| \sum_{ k=1 }^{ n } f_{k} (x) \right| \le \phi (x)$ がほとんど至る所で成り立つ。最後に $\phi$ と似ているが、シグマの内側に絶対値がない $f$ を $$ f(x) := \sum_{k=1}^{\infty} f_{k} (x) $$ として定義し、このような $f$ は収束しない点については単に $f(x)$ としておき、ルベーグ積分可能であることを保証できる。これで $$ \left| \sum_{ k=1 }^{ n } f_{k} \right| \le \phi \qquad , \phi \in \mathcal{L}^{1} \\ f = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} f_{k} $$ 支配収束定理を使用する準備が整った。

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パート２. 具体的な積分

支配収束定理: 可測集合 $E \in \mathcal{M}$ と $g \in \mathcal{L}^{1} (E)$ に対して、可測関数の列 $\left\{ f_{n} \right\}$ が $E$ でほとんど至る所 $|f_{n}| \le g$ を満たすとする。$E$ でほとんど至る所 $\displaystyle f = \lim_{n \to \infty} f_{n}$ ならば、$$f \in \mathcal{L}^{1}(E) \\ \lim_{ n \to \infty} \int_{E} f_{n} (x) dm = \int_{E} f dm$$

したがって、以下が成り立つ。 $$ \begin{align*} \int \sum_{k=1}^{\infty} f_{k} dm = & \int \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} f_{k} dm \\ =& \int f dm \\ =& \lim_{n \to \infty} \int \sum_{k=1}^{n} f_{k} dm \\ =& \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int f_{k} dm \\ =& \sum_{k=1}^{\infty} \int f_{k} dm \end{align*} $$

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説明

この定理は、イタリアの数学者 ベッポ・レヴィ^{beppo Levi}によって証明され、関数列の積分を驚くほど簡単に解決してくれる。

例

$\displaystyle \int_{0}^{1} \left( {{ \log x } \over {1-x}} \right)^2 dx$ を求めよ。

解答

$f_{n} (x) : = n x^{n-1} ( \log x )^2$ と定義すると、$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1} = {{1} \over {(1-x)^2}}$ なので、 $$ \sum_{n=1}^{\infty} f_{n} (x) = \left( {{ \log x } \over {1-x}} \right)^2 $$ レヴィの定理により、 $$\int_{0}^{1} f (x) dx = \sum_{n=1}^{\infty} \int_{0}^{1} f_{n} (x) dx$$ だが、部分積分法により、 $$\int_{0}^{1} f_{n} (x) dx = \int_{0}^{1} n x^{n-1} ( \log x )^2 dx = {{2} \over {n^2}}$$ したがって、以下を得る。 $$\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) dx = \sum_{n=1}^{\infty} {{2} \over {n^2}} = {{\pi^2} \over {3}}$$

解説

問題解決の本質は、結局 $ \begin{cases} \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_{n} (x) = f(x) \\ \displaystyle \int_{E} f(x) dx = \sum_{n=1}^{\infty} \int_{E} f_{n} (x) dx \end{cases}$ を満たす $f_{n}$ を見つけることにある。このプロセスは確かに難しいが、リーマン積分のように原始関数を見つけて解くよりはずっと簡単だろう。

参照

• 確率論でのレヴィの定理