コンパクト空間と連続関数に関する有用な性質
定理
$f : X \to Y$について、$X$がコンパクト、$f$が連続であるとしよう。
- [2]: $Y$がハウスドルフなら$f$は閉関数である。閉集合$C \subset X$について$f(C) \subset Y$は閉集合である。
説明
くだらない性質ばかりだと思うかもしれないが、最大最小値の定理を証明するときに使われるなど、使い道が多い。
1
コンパクトが連続関数を取ったときにも依然として保存される性質であることを意味する。
[2]
閉性についての話をしているが、ハウスドルフについての話である以上、あちこちでよく使われる。すべての距離空間は$T_{2}$空間なので、たいていの場合は通用すると見てよい。
3
条件は多いが、位相同型写像の定義において逆関数もまた連続であることを含意しているというのがポイントである。逆関数の連続性を直接チェックするよりも、定義域と余域の位相的性質を把握する方が容易であれば、非常に有用だろう。
4
一様連続はもともと距離空間でのみ論じる概念だが、$X$がコンパクト空間になると$f$が連続性だけでなく一様連続性まで持つことを保証するので有用である。コンパクトと連続はまったく異なる概念から出発するが、このようにいろいろと多く絡み合っており、切っても切れない関係にある。