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二階微分方程式の第二解を求める方法 📂微分方程式

二階微分方程式の第二解を求める方法

説明1

y+p(t)y+q(t)y=0 \begin{equation} y^{\prime \prime }+p(t)y^{\prime} + q(t)y=0 \end{equation}

上のような微分方程式が与えられて、一つの解 y1y_{1}を知っているとする。一般解をy(t)=ν(t)y1(t)y(t)=\nu (t) y_{1}(t)と仮定しよう。yyの1次、2次の微分を求めると次のようになる。

y=νy1+νy1y=νy1+νy1+νy1+νy1=νy1+2νy1+νy1 \begin{align*} y^{\prime} &= \nu^{\prime} y_{1} + \nu y_{1}^{\prime} \\ y^{\prime \prime} &= \nu ^{\prime \prime}y_{1} + \nu^{\prime} y_{1}^{\prime} + \nu^ \prime y_{1}^{\prime} + \nu y_{1}^{\prime \prime} \\ &= \nu ^{\prime \prime}y_{1} + 2\nu^{\prime} y_{1}^{\prime} + \nu y_{1}^{\prime \prime} \end{align*}

yy^{\prime}yy^{\prime \prime}(1)(1)に代入すると、

νy1+2νy1+νy1+p(νy1+νy1)+qνy1=0 \nu^{\prime \prime}y_{1} + 2\nu^{\prime} y_{1}^{\prime} + \nu y_{1} ^{\prime \prime} + p \left( \nu^{\prime} y_{1} + \nu y_{1}^{\prime} \right) + q\nu y_{1}=0

ν\nuについて整理すると、

ν(y1+py1+qy1)+ν(2y1+py1)+νy1=0 \begin{equation} \nu \left( y_{1} ^{\prime \prime} + py_{1}^{\prime} + qy_{1} \right) + \nu^{\prime} \left( 2y_{1}^{\prime} + py_{1} \right) + \nu ^{ \prime \prime} y_{1}=0 \end{equation}

この時 y1y_{1}(1)(1)の解なので y1+py1+qy=0y_{1}^{\prime \prime} + py_{1}^ \prime + qy=0である。従って (2)(2)の第一項は00でさらに整理すると ν(2y1+py1)+νy1=0 \nu^{\prime} \left( 2y_{1}^{\prime} + py_{1} \right) + \nu ^{ \prime \prime}y_{1}=0

微分方程式の係数を下げるためにνw\nu^{\prime} \equiv wと置換しよう。そうすると式は以下のように1次微分方程式になり、係数が下がる。

w(2y1+py1)+wy1=0 w \left( 2y_{1}^{\prime}+ py_{1} \right) + w^{\prime} y_{1}=0

変数分離などを使って新たに得たwwについての微分方程式を解くと、二番目の解と一般解を得ることができる。例を通して具体的にみてみよう。

2t2y+3tyy=02t^2 y^{\prime \prime} + 3ty^{\prime} –y=0t>0t>0y1=t1y_{1}=t^{-1}の時、二番目の解と一般解を求めよ。

y=νt1y=\nu t^{-1}とすると

y=νt1νy2y=νt12vt2+2νt3 y^{\prime} = \nu^{\prime} t^{-1} - \nu y^{-2} \\ y^{\prime \prime } = \nu ^{\prime \prime} t^{-1} - 2v^{\prime} t^{-2}+ 2\nu t^{-3}

与えられた微分方程式に代入すると

2t2(νt1+2νt32νt2)+3t(νt1νt2)νt1=0 2t^2 \left( \nu ^{\prime \prime} t^{-1} + 2\nu t^{-3} - 2\nu^{\prime} t^{-2} \right) +3t \left( \nu^{\prime} t^{-1} - \nu t^{-2} \right) -\nu t^{-1} = 0

ν\nuについて整理すると ν\nu項は00なので

2tνν=0 2t\nu^{\prime \prime} -\nu^{\prime} =0

この時νw\nu^{\prime} \equiv wと置換すると

2tww=0    2tw=0    1wdw=12tdt    lnw=12lnt+C=lnt1/2+C    w=Celnt1/2=Ct1/2    ν=w=Ct1/2    ν=23Ct32+k \begin{align*} && 2tw^{\prime} –w&=0 \\ \implies && 2t w^{\prime} &=0 \\ \implies && \dfrac{1}{w}dw &= \dfrac{1}{2t}dt \\ \implies && \ln w &= \dfrac{1}{2} \ln t + C = \ln t ^{1/2} +C \\ \implies && w &= Ce^{\ln t^{1/2}} = Ct^{1/2} \\ \implies && \nu^{\prime} &= w=Ct^{1/2} \\ \implies && \nu &= \frac{2}{3}Ct^{\frac{3}{2}} + k \end{align*}

従ってy=νy1=νt1y=\nu y_{1}=\nu t^{-1}である。

y=(23Ct32+k)t1    y=23Ct12+kt1 \begin{align*} && y &=\left( \frac{2}{3}Ct^{\frac{3}{2}} + k \right) t^{-1} \\ \implies && y&=\frac{2}{3}Ct^{\frac{1}{2}} + kt^{-1} \end{align*}


  1. William E. Boyce, Boyce’s Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (11th Edition, 2017), p127-133 ↩︎