📂微分方程式

二階微分方程式の第二解を求める方法

説明¹

$$ \begin{equation} y^{\prime \prime }+p(t)y^{\prime} + q(t)y=0 \end{equation} $$

上のような微分方程式が与えられて、一つの解 $y_{1}$を知っているとする。一般解を$y(t)=\nu (t) y_{1}(t)$と仮定しよう。$y$の1次、2次の微分を求めると次のようになる。

$$ \begin{align*} y^{\prime} &= \nu^{\prime} y_{1} + \nu y_{1}^{\prime} \\ y^{\prime \prime} &= \nu ^{\prime \prime}y_{1} + \nu^{\prime} y_{1}^{\prime} + \nu^ \prime y_{1}^{\prime} + \nu y_{1}^{\prime \prime} \\ &= \nu ^{\prime \prime}y_{1} + 2\nu^{\prime} y_{1}^{\prime} + \nu y_{1}^{\prime \prime} \end{align*} $$

$y^{\prime}$、$y^{\prime \prime}$を$(1)$に代入すると、

$$ \nu^{\prime \prime}y_{1} + 2\nu^{\prime} y_{1}^{\prime} + \nu y_{1} ^{\prime \prime} + p \left( \nu^{\prime} y_{1} + \nu y_{1}^{\prime} \right) + q\nu y_{1}=0 $$

$\nu$について整理すると、

$$ \begin{equation} \nu \left( y_{1} ^{\prime \prime} + py_{1}^{\prime} + qy_{1} \right) + \nu^{\prime} \left( 2y_{1}^{\prime} + py_{1} \right) + \nu ^{ \prime \prime} y_{1}=0 \end{equation} $$

この時 $y_{1}$は$(1)$の解なので $y_{1}^{\prime \prime} + py_{1}^ \prime + qy=0$である。従って $(2)$の第一項は$0$でさらに整理すると $$ \nu^{\prime} \left( 2y_{1}^{\prime} + py_{1} \right) + \nu ^{ \prime \prime}y_{1}=0 $$

微分方程式の係数を下げるために$\nu^{\prime} \equiv w$と置換しよう。そうすると式は以下のように1次微分方程式になり、係数が下がる。

$$ w \left( 2y_{1}^{\prime}+ py_{1} \right) + w^{\prime} y_{1}=0 $$

変数分離などを使って新たに得た$w$についての微分方程式を解くと、二番目の解と一般解を得ることができる。例を通して具体的にみてみよう。

例

$2t^2 y^{\prime \prime} + 3ty^{\prime} –y=0$、$t>0$、$y_{1}=t^{-1}$の時、二番目の解と一般解を求めよ。

$y=\nu t^{-1}$とすると

$$ y^{\prime} = \nu^{\prime} t^{-1} - \nu y^{-2} \\ y^{\prime \prime } = \nu ^{\prime \prime} t^{-1} - 2v^{\prime} t^{-2}+ 2\nu t^{-3} $$

与えられた微分方程式に代入すると

$$ 2t^2 \left( \nu ^{\prime \prime} t^{-1} + 2\nu t^{-3} - 2\nu^{\prime} t^{-2} \right) +3t \left( \nu^{\prime} t^{-1} - \nu t^{-2} \right) -\nu t^{-1} = 0 $$

$\nu$について整理すると $\nu$項は$0$なので

$$ 2t\nu^{\prime \prime} -\nu^{\prime} =0 $$

この時$\nu^{\prime} \equiv w$と置換すると

$$ \begin{align*} && 2tw^{\prime} –w&=0 \\ \implies && 2t w^{\prime} &=0 \\ \implies && \dfrac{1}{w}dw &= \dfrac{1}{2t}dt \\ \implies && \ln w &= \dfrac{1}{2} \ln t + C = \ln t ^{1/2} +C \\ \implies && w &= Ce^{\ln t^{1/2}} = Ct^{1/2} \\ \implies && \nu^{\prime} &= w=Ct^{1/2} \\ \implies && \nu &= \frac{2}{3}Ct^{\frac{3}{2}} + k \end{align*} $$

従って$y=\nu y_{1}=\nu t^{-1}$である。

$$ \begin{align*} && y &=\left( \frac{2}{3}Ct^{\frac{3}{2}} + k \right) t^{-1} \\ \implies && y&=\frac{2}{3}Ct^{\frac{1}{2}} + kt^{-1} \end{align*} $$

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