二階微分方程式の第二解を求める方法
📂微分方程式二階微分方程式の第二解を求める方法
説明
y′′+p(t)y′+q(t)y=0
上のような微分方程式が与えられて、一つの解 y1を知っているとする。一般解をy(t)=ν(t)y1(t)と仮定しよう。yの1次、2次の微分を求めると次のようになる。
y′y′′=ν′y1+νy1′=ν′′y1+ν′y1′+ν′y1′+νy1′′=ν′′y1+2ν′y1′+νy1′′
y′、y′′を(1)に代入すると、
ν′′y1+2ν′y1′+νy1′′+p(ν′y1+νy1′)+qνy1=0
νについて整理すると、
ν(y1′′+py1′+qy1)+ν′(2y1′+py1)+ν′′y1=0
この時 y1は(1)の解なので y1′′+py1′+qy=0である。従って (2)の第一項は0でさらに整理すると
ν′(2y1′+py1)+ν′′y1=0
微分方程式の係数を下げるためにν′≡wと置換しよう。そうすると式は以下のように1次微分方程式になり、係数が下がる。
w(2y1′+py1)+w′y1=0
変数分離などを使って新たに得たwについての微分方程式を解くと、二番目の解と一般解を得ることができる。例を通して具体的にみてみよう。
例
2t2y′′+3ty′–y=0、t>0、y1=t−1の時、二番目の解と一般解を求めよ。
y=νt−1とすると
y′=ν′t−1−νy−2y′′=ν′′t−1−2v′t−2+2νt−3
与えられた微分方程式に代入すると
2t2(ν′′t−1+2νt−3−2ν′t−2)+3t(ν′t−1−νt−2)−νt−1=0
νについて整理すると ν項は0なので
2tν′′−ν′=0
この時ν′≡wと置換すると
⟹⟹⟹⟹⟹⟹2tw′–w2tw′w1dwlnwwν′ν=0=0=2t1dt=21lnt+C=lnt1/2+C=Celnt1/2=Ct1/2=w=Ct1/2=32Ct23+k
従ってy=νy1=νt−1である。
⟹yy=(32Ct23+k)t−1=32Ct21+kt−1
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