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回転変換行列の累乗公式の証明 📂行列代数

回転変換行列の累乗公式の証明

定理

全ての自然数に対してnnが成立する。 [cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ]n=[cos⁡nθ−sin⁡nθsin⁡nθcos⁡nθ] \begin{bmatrix} { \cos \theta }&{ -\sin \theta } \\ { \sin \theta }&{ \cos \theta } \end{bmatrix} ^{n} = \begin{bmatrix} { \cos n\theta }&{ -\sin n\theta } \\ { \sin n\theta }&{ \cos n\theta } \end{bmatrix}

説明

原点を中心にθ\thetaだけ回転する一次変換の行列をnn乗すると、nθn\thetaだけ回転する一次変換になる。

証明

戦略: 常識的にも明らかで、数学的帰納法を使用して簡単に証明できる。

(ㄱ):[cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ]n=[cos⁡nθ−sin⁡nθsin⁡nθcos⁡nθ] (ㄱ) : \begin{bmatrix} { \cos \theta }&{ -\sin \theta } \\ { \sin \theta }&{ \cos \theta } \end{bmatrix}^{ n }= \begin{bmatrix} { \cos n\theta }&{ -\sin n\theta } \\ { \sin n\theta }&{ \cos n\theta } \end{bmatrix}

n=1n=1のとき、 [cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ]=[cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ] \begin{bmatrix} { \cos \theta }&{ -\sin \theta } \\ { \sin \theta }&{ \cos \theta } \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} { \cos \theta }&{ -\sin \theta } \\ { \sin \theta }&{ \cos \theta } \end{bmatrix} したがって、(ㄱ)が成立する。今、n=kn=kのとき(ㄱ)が成立すると仮定すると、 [cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ]k=[cos⁡kθ−sin⁡kθsin⁡kθcos⁡kθ] \begin{bmatrix} { \cos \theta }&{ -\sin \theta } \\ { \sin \theta }&{ \cos \theta } \end{bmatrix}^{ k }= \begin{bmatrix} { \cos k\theta }&{ -\sin k\theta } \\ { \sin k\theta }&{ \cos k\theta } \end{bmatrix} 両辺に[cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ]\begin{bmatrix} { \cos \theta }&{ -\sin \theta } \\ { \sin \theta }&{ \cos \theta }\end{bmatrix}を掛けると、 [cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ]k+1=[cos⁡kθ−sin⁡kθsin⁡kθcos⁡kθ][cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ]=[cos⁡kθcos⁡θ−sin⁡kθsin⁡θ−(sin⁡kθcos⁡θ+cos⁡kθsin⁡θ)sin⁡kθcos⁡θ+cos⁡kθsin⁡θcos⁡kθcos⁡θ−sin⁡kθsin⁡θ]=[cos⁡(k+1)θ−sin⁡(k+1)θsin⁡(k+1)θcos⁡(k+1)θ] \begin{align*} \begin{bmatrix} { \cos \theta }&{ -\sin \theta } \\ { \sin \theta }&{ \cos \theta } \end{bmatrix}^{ k+1 } =& \begin{bmatrix} { \cos k\theta }&{ -\sin k\theta } \\ { \sin k\theta }&{ \cos k\theta } \end{bmatrix} \begin{bmatrix} { \cos \theta }&{ -\sin \theta } \\ { \sin \theta }&{ \cos \theta } \end{bmatrix} \\ =& \begin{bmatrix} { \cos k\theta \cos \theta -\sin k\theta \sin \theta }&{ -(\sin k\theta \cos \theta +\cos k\theta \sin \theta ) } \\ { \sin k\theta \cos \theta +\cos k\theta \sin \theta }&{ \cos k\theta \cos \theta -\sin k\theta \sin \theta } \end{bmatrix} \\ =& \begin{bmatrix} { \cos (k+1)\theta }&{ -\sin (k+1)\theta } \\ { \sin (k+1)\theta }&{ \cos (k+1)\theta } \end{bmatrix} \end{align*} したがって、(ㄱ)が成立する。

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