ルベーグ積分可能 📂測度論

ルベーグ積分可能

定義 ¹

[2]: $f \in \mathcal{L}^{1} (E)$ ならば $\displaystyle \left| \int_{E} f dm \right| \le \int_{E} | f | dm$
[3]: $f \in \mathcal{L}^{1} (E) $ そして $c \in \mathbb{R}$ ならば $\displaystyle \int_{E} (c f) dm = c \int_{E} f dm$
[4]: $f,g \in \mathcal{L}^{1} (E) $ ならば $\displaystyle \int_{E} ( f + g ) dm = \int_{E} f dm + \int_{E} g dm$
[5]: $f,g \in \mathcal{L}^{1} (E)$ そして $f \le g$ ならば $\displaystyle \int_{E} f dm \le \int_{E} g dm$
[6]: 全ての $E \in \mathcal{M}$ に対して $\displaystyle \int_{E} f dm = \int_{E} g dm$ ならばほとんど至る所で $f= g$ だ。

性質 1 が定義の直下にあるからといって簡単に見えるかもしれないが、ちょっと経つと混乱しやすいから、よく覚えておくこと。

一方で性質 [3]～[5] からは、$\mathcal{L}^{1}(E)$ がベクトル空間であることがわかる。

Capinski. (1999). Measure, Integral and Probability: p86. $E \in \mathcal{M}$ とするとき、可測関数 $f$ については $$f^{+} := \max \left\{ f , 0 \right\} \\ f^{-} := \max \left\{ -f , 0 \right\}$$ と表す。すると $$ f = f^{+} - f^{-} \\ | f | = f^{+} + f^{-} $$ と表せる。もし $\displaystyle \int_{E} | f | dm < \infty$、すなわち $$ \int_{E} f^{+} dm < \infty \\ \int_{E} f^{-} dm < \infty $$ ならば $f$ を ルベーグ積分可能^{lesbegue Integrable}という。$E$ の積分可能な関数の集合を次のように表す。 $$ \mathcal{L}^{1}(E) : = \left\{ f \ \left| \ \int_{E} | f | dm < \infty \right. \right\} $$ ↩︎