標本標準偏差と標準誤差の区別 📂数理統計学

標本標準偏差と標準誤差の区別

定義

$X$ から得られたデータを $\mathbf{x} = ( x_{1}, x_{2}, \cdots , x_{n} )$ としよう。

標本平均: $\overline{x} = {{1} \over {n}} \sum_{i=1}^{n} x_{i}$
標本標準偏差: $s_{x} = \sqrt { {{1} \over {n-1}} \sum_{i=1}^{n} ( x_{i} - \overline{x} )^2 }$
標準誤差: $\text{s.e.} \left( \overline{X} \right) = {{ s_{x} } \over { \sqrt{n} }}$

説明

用語が似ているせいか、意外と多くの人が標本標準偏差と標準誤差を区別できない。テキストで統計を学んでいる高校生だけでなく、統計学の3年生や4年生でさえ混乱することが少なくない。

以下の5つを読む前に覚えておくといい：

(1): 標準誤差は標本平均の標準偏差である。
(2): 標準誤差は集団について特に情報を提供しない。
(3): 標準誤差は標本についてのみ語られる。つまり、「集団標準誤差」という概念は考えない。
(4): 標準誤差は主に仮説検定、信頼区間や予測区間を求める際に必要なものである。言い換えれば、区間の話がある時だけ気にすればいい。
(5): 標準偏差は大きいか小さいかで良し悪しを判断できないが、標準誤差は小さいほど良い。というのも、標準偏差はデータ間の「どれだけ違うか」を見て、標準誤差は標本平均が「どれだけ間違っているか」を見るからである。

高校生以下

標準誤差が標本平均の標準偏差であることを考えると、全体の標本よりも標本平均たちは母平均に集まっているはずだ。母平均からのずれの度合いという点で、再度分散の概念であることが確認でき、標本標準偏差よりも当然小さいはずだ。 $20180425\_205309.png$ 統計では平均に興味があるため、「誤差」という表現は自然だ。ここで $\pm 1.96$ をかけて区間を作れば、信頼区間や予測区間になるため、「標準」という表現も妥当だ。用語が似ているからと言って難しく考えすぎず、一文字一文字しっかり噛み砕いて覚えよう。

大学生以上

中心極限定理: $\sqrt{n} {{ \overline{X}_n - \mu } \over {\sigma}} \overset{D}{\to} N (0,1)$

中心極限定理の形を少し修正すると $\displaystyle \overline{X}_n \overset{D}{\to} \text{N} \left( \mu , {{\sigma} \over {\sqrt{n}}} \right)$ の形になる。式を見れば、標準誤差が標本平均の標準偏差であることは容易にわかる。

面白いのは、分子 $\left( \overline{X}_{n} - \mu \right)$ が正規分布に従い、分母 $\sigma^2$ がカイ二乗分布に従うと、 $n$ が $t$ 分布の導出で自由度になるという事実である。適切な仮定が満たされれば、標準誤差は検定に必要な統計量として見ることができ、(3)や(4)を越えた話をすることが可能になる。