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三角関数の和差公式と積和公式 📂関数

三角関数の和差公式と積和公式

合成/乗算の公式は頻繁には使われないから、倍角/半角の公式ほど重要ではない。しかし、それで全く必要ないわけではない。導出過程がとても簡単だから、覚えておいて必要な時にすぐ導出して使えるといい。加法定理だけを使って導出する。

加法定理

sin⁡(θ1±θ2)= sin⁡θ1cos⁡θ2±sin⁡θ2cos⁡θ2cos⁡(θ1±θ2)= cos⁡θ1cos⁡θ2∓sin⁡θ1sin⁡θ2tan⁡(θ1±θ2)= tan⁡θ1±tan⁡θ21∓tan⁡θ1tan⁡θ2 \begin{align*} \sin ( \theta_{1} \pm \theta_{2}) =&\ \sin \theta_{1} \cos \theta_{2} \pm \sin \theta_{2} \cos \theta_{2} \\ \cos ( \theta_{1} \pm \theta_{2}) =&\ \cos \theta_{1} \cos\theta_{2} \mp \sin\theta_{1} \sin\theta_{2} \\ \tan ( \theta_{1} \pm \theta_{2}) =&\ \dfrac{\tan\theta_{1} \pm \tan\theta_{2}}{1 \mp \tan\theta_{1}\tan\theta_{2}} \end{align*}

合成公式

sin⁡A+sin⁡B= 2sin⁡A+B2cos⁡A−B2sin⁡A−sin⁡B= 2cos⁡A+B2sin⁡A−B2cos⁡A+cos⁡B= 2cos⁡A+B2cos⁡A−B2cos⁡A−cos⁡B= −2sin⁡A+B2sin⁡A−B2 \begin{align*} \sin A + \sin B =&\ 2 \sin \dfrac{A+B}{2} \cos \dfrac{A-B}{2} \\ \sin A - \sin B =&\ 2 \cos \dfrac{A+B}{2} \sin \dfrac{A-B}{2} \\ \cos A + \cos B =&\ 2 \cos \dfrac{A+B}{2} \cos \dfrac{A-B}{2} \\ \cos A - \cos B =&\ -2 \sin \dfrac{A+B}{2} \sin \dfrac{A-B}{2} \end{align*}

導出

長いけど、難しくない。

sin⁡(A+B)= sin⁡Acos⁡B+cos⁡Asin⁡Bsin⁡(A−B)= sin⁡Acos⁡B−cos⁡Asin⁡Bcos⁡(A+B)= cos⁡Acos⁡B−sin⁡Asin⁡Bcos⁡(A−B)= cos⁡Acos⁡B+sin⁡Asin⁡B \begin{align} \sin (A+B) =&\ \sin A \cos B + \cos A \sin B \\ \sin (A-B) =&\ \sin A \cos B - \cos A \sin B \\ \cos (A+B) =&\ \cos A \cos B - \sin A \sin B \\ \cos (A-B) =&\ \cos A \cos B + \sin A \sin B \end{align}

A≡x+y2A \equiv \dfrac{x+y}{2}、B≡x−y2B \equiv \dfrac{x-y}{2}と置き換えて、(1)(1) ~ (4)(4)に代入すると次のようになる。

sin⁡x= sin⁡x+y2cos⁡x−y2+cos⁡x+y2sin⁡x−y2sin⁡y= sin⁡x+y2cos⁡x−y2−cos⁡x+y2sin⁡x−y2cos⁡x= cos⁡x+y2cos⁡x−y2−sin⁡x+y2sin⁡x−y2cos⁡y= cos⁡x+y2cos⁡x−y2+sin⁡x+y2sin⁡x−y2 \begin{align} \sin x =&\ \sin \dfrac{x+y}{2} \cos \dfrac{x-y}{2} + \cos \dfrac{x+y}{2} \sin \dfrac{x-y}{2} \\ \sin y =&\ \sin \dfrac{x+y}{2} \cos \dfrac{x-y}{2} - \cos \dfrac{x+y}{2} \sin \dfrac{x-y}{2} \\ \cos x =&\ \cos \dfrac{x+y}{2} \cos \dfrac{x-y}{2} - \sin \dfrac{x+y}{2} \sin \dfrac{x-y}{2} \\ \cos y =&\ \cos \dfrac{x+y}{2} \cos \dfrac{x-y}{2} + \sin \dfrac{x+y}{2} \sin \dfrac{x-y}{2} \end{align}

(5)+(6)(5)+(6)を計算すると下記の式を得る。

sin⁡x+sin⁡y=2sin⁡x+y2cos⁡x−y2 \sin x + \sin y = 2\sin \dfrac{x+y}{2} \cos \dfrac{x-y}{2}

(5)−(6)(5)-(6)を計算すると下記の式を得る。

sin⁡x+sin⁡y=2cos⁡x+y2sin⁡x−y2 \sin x + \sin y = 2\cos \dfrac{x+y}{2} \sin \dfrac{x-y}{2}

(7)+(8)(7)+(8)を計算すると下記の式を得る。

cos⁡x+cos⁡y=2cos⁡x+y2cos⁡x−y2 \cos x + \cos y= 2\cos \dfrac{x+y}{2} \cos \dfrac{x-y}{2}

(7)−(8)(7)-(8)を計算すると下記の式を得る。

cos⁡x−cos⁡y=−2sin⁡x+y2sin⁡x−y2 \cos x - \cos y= -2\sin \dfrac{x+y}{2} \sin \dfrac{x-y}{2}

今度はx≡Ax \equiv A、y≡By \equiv Bに戻して置き換えると次の結果を得る。

sin⁡A+sin⁡B= 2sin⁡A+B2cos⁡A−B2sin⁡A−sin⁡B= 2cos⁡A+B2sin⁡A−B2cos⁡A+cos⁡B= 2cos⁡A+B2cos⁡A−B2cos⁡A−cos⁡B= −2sin⁡A+B2sin⁡A−B2 \begin{align*} \sin A + \sin B =&\ 2 \sin \dfrac{A+B}{2} \cos \dfrac{A-B}{2} \\ \sin A - \sin B =&\ 2 \cos \dfrac{A+B}{2} \sin \dfrac{A-B}{2} \\ \cos A + \cos B =&\ 2 \cos \dfrac{A+B}{2} \cos \dfrac{A-B}{2} \\ \cos A - \cos B =&\ -2 \sin \dfrac{A+B}{2} \sin \dfrac{A-B}{2} \end{align*}

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乗算公式

sin⁡Acos⁡B= 12[sin⁡(A+B)+sin⁡(A−B)]cos⁡Asin⁡B= 12[sin⁡(A+B)−sin⁡(A−B)]cos⁡Acos⁡B= 12[cos⁡(A+B)+cos⁡(A−B)]sin⁡Asin⁡B= −12[cos⁡(A+B)−cos⁡(A−B)] \begin{align*} \sin A \cos B =&\ \dfrac{1}{2} \left[ \sin(A+B) + \sin (A-B) \right] \\ \cos A \sin B =&\ \dfrac{1}{2} \left[ \sin(A+B) - \sin (A-B) \right] \\ \cos A \cos B =&\ \dfrac{1}{2} \left[ \cos(A+B) + \cos (A-B) \right] \\ \sin A \sin B =&\ -\dfrac{1}{2} \left[ \cos(A+B) - \cos (A-B) \right] \end{align*}

導出

三角関数の加法定理から簡単に導出できる。 sin⁡(A+B)= sin⁡Acos⁡B+cos⁡Asin⁡Bsin⁡(A−B)= sin⁡Acos⁡B−cos⁡Asin⁡Bcos⁡(A+B)= cos⁡Acos⁡B−sin⁡Asin⁡Bcos⁡(A−B)= cos⁡Acos⁡B+sin⁡Asin⁡B \begin{align} \sin (A+B) =&\ \sin A \cos B + \cos A \sin B \\ \sin (A-B) =&\ \sin A \cos B - \cos A \sin B \\ \cos (A+B) =&\ \cos A \cos B - \sin A \sin B \\ \cos (A-B) =&\ \cos A \cos B + \sin A \sin B \end{align}

(9)+(10)(9) + (10)を計算すると次のようになる。

sin⁡(A+B)+sin⁡(A−B)=2sin⁡Acos⁡B  ⟹  sin⁡Acos⁡B=12[sin⁡(A+B)+sin⁡(A−B)] \sin (A+B) + \sin(A-B) = 2\sin A \cos B \\ \implies \sin A \cos B = \dfrac{1}{2} \left[ \sin(A+B) + \sin (A-B) \right]

(9)−(10)(9) - (10)を計算すると次のようになる。

sin⁡(A+B)−sin⁡(A−B)=2cos⁡Asin⁡B  ⟹  cos⁡Asin⁡B=12[sin⁡(A+B)−sin⁡(A−B)] \sin (A+B) - \sin(A-B) = 2\cos A \sin B \\ \implies \cos A \sin B = \dfrac{1}{2} \left[ \sin(A+B) - \sin (A-B) \right]

(11)+(12)(11) + (12)を計算すると次のようになる。

cos⁡(A+B)+cos⁡(A−B)=2cos⁡Acos⁡B  ⟹  cos⁡Acos⁡B=12[cos⁡(A+B)+cos⁡(A−B)] \cos (A+B) + \cos (A-B) = 2 \cos A \cos B \\ \implies \cos A \cos B = \dfrac{1}{2} \left[ \cos(A+B) + \cos (A-B) \right]

(11)−(12)(11) - (12)を計算すると次のようになる。

cos⁡(A+B)−cos⁡(A−B)=−2sin⁡Asin⁡B  ⟹  sin⁡Asin⁡B=−12[cos⁡(A+B)−cos⁡(A−B)] \cos (A+B) - \cos (A-B) =-2 \sin A \sin B \\ \implies \sin A \sin B = -\dfrac{1}{2} \left[ \cos(A+B) - \cos (A-B) \right]

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