三角関数の和差公式と積和公式 📂関数

三角関数の和差公式と積和公式

合成/乗算の公式は頻繁には使われないから、倍角/半角の公式ほど重要ではない。しかし、それで全く必要ないわけではない。導出過程がとても簡単だから、覚えておいて必要な時にすぐ導出して使えるといい。加法定理だけを使って導出する。

加法定理
$$ \begin{align*} \sin ( \theta_{1} \pm \theta_{2}) =&\ \sin \theta_{1} \cos \theta_{2} \pm \sin \theta_{2} \cos \theta_{2} \\ \cos ( \theta_{1} \pm \theta_{2}) =&\ \cos \theta_{1} \cos\theta_{2} \mp \sin\theta_{1} \sin\theta_{2} \\ \tan ( \theta_{1} \pm \theta_{2}) =&\ \dfrac{\tan\theta_{1} \pm \tan\theta_{2}}{1 \mp \tan\theta_{1}\tan\theta_{2}} \end{align*} $$

合成公式

$$ \begin{align*} \sin A + \sin B =&\ 2 \sin \dfrac{A+B}{2} \cos \dfrac{A-B}{2} \\ \sin A - \sin B =&\ 2 \cos \dfrac{A+B}{2} \sin \dfrac{A-B}{2} \\ \cos A + \cos B =&\ 2 \cos \dfrac{A+B}{2} \cos \dfrac{A-B}{2} \\ \cos A - \cos B =&\ -2 \sin \dfrac{A+B}{2} \sin \dfrac{A-B}{2} \end{align*} $$

導出

長いけど、難しくない。

$$ \begin{align} \sin (A+B) =&\ \sin A \cos B + \cos A \sin B \\ \sin (A-B) =&\ \sin A \cos B - \cos A \sin B \\ \cos (A+B) =&\ \cos A \cos B - \sin A \sin B \\ \cos (A-B) =&\ \cos A \cos B + \sin A \sin B \end{align} $$

$A \equiv \dfrac{x+y}{2}$、$B \equiv \dfrac{x-y}{2}$と置き換えて、$(1)$ ~ $(4)$に代入すると次のようになる。

$$ \begin{align} \sin x =&\ \sin \dfrac{x+y}{2} \cos \dfrac{x-y}{2} + \cos \dfrac{x+y}{2} \sin \dfrac{x-y}{2} \\ \sin y =&\ \sin \dfrac{x+y}{2} \cos \dfrac{x-y}{2} - \cos \dfrac{x+y}{2} \sin \dfrac{x-y}{2} \\ \cos x =&\ \cos \dfrac{x+y}{2} \cos \dfrac{x-y}{2} - \sin \dfrac{x+y}{2} \sin \dfrac{x-y}{2} \\ \cos y =&\ \cos \dfrac{x+y}{2} \cos \dfrac{x-y}{2} + \sin \dfrac{x+y}{2} \sin \dfrac{x-y}{2} \end{align} $$

$(5)+(6)$を計算すると下記の式を得る。

$$ \sin x + \sin y = 2\sin \dfrac{x+y}{2} \cos \dfrac{x-y}{2} $$

$(5)-(6)$を計算すると下記の式を得る。

$$ \sin x + \sin y = 2\cos \dfrac{x+y}{2} \sin \dfrac{x-y}{2} $$

$(7)+(8)$を計算すると下記の式を得る。

$$ \cos x + \cos y= 2\cos \dfrac{x+y}{2} \cos \dfrac{x-y}{2} $$

$(7)-(8)$を計算すると下記の式を得る。

$$ \cos x - \cos y= -2\sin \dfrac{x+y}{2} \sin \dfrac{x-y}{2} $$

今度は$x \equiv A$、$y \equiv B$に戻して置き換えると次の結果を得る。

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乗算公式

$$ \begin{align*} \sin A \cos B =&\ \dfrac{1}{2} \left[ \sin(A+B) + \sin (A-B) \right] \\ \cos A \sin B =&\ \dfrac{1}{2} \left[ \sin(A+B) - \sin (A-B) \right] \\ \cos A \cos B =&\ \dfrac{1}{2} \left[ \cos(A+B) + \cos (A-B) \right] \\ \sin A \sin B =&\ -\dfrac{1}{2} \left[ \cos(A+B) - \cos (A-B) \right] \end{align*} $$

導出

三角関数の加法定理から簡単に導出できる。 $$ \begin{align} \sin (A+B) =&\ \sin A \cos B + \cos A \sin B \\ \sin (A-B) =&\ \sin A \cos B - \cos A \sin B \\ \cos (A+B) =&\ \cos A \cos B - \sin A \sin B \\ \cos (A-B) =&\ \cos A \cos B + \sin A \sin B \end{align} $$

$(9) + (10)$を計算すると次のようになる。

$$ \sin (A+B) + \sin(A-B) = 2\sin A \cos B \\ \implies \sin A \cos B = \dfrac{1}{2} \left[ \sin(A+B) + \sin (A-B) \right] $$

$(9) - (10)$を計算すると次のようになる。

$$ \sin (A+B) - \sin(A-B) = 2\cos A \sin B \\ \implies \cos A \sin B = \dfrac{1}{2} \left[ \sin(A+B) - \sin (A-B) \right] $$

$(11) + (12)$を計算すると次のようになる。

$$ \cos (A+B) + \cos (A-B) = 2 \cos A \cos B \\ \implies \cos A \cos B = \dfrac{1}{2} \left[ \cos(A+B) + \cos (A-B) \right] $$

$(11) - (12)$を計算すると次のようになる。

$$ \cos (A+B) - \cos (A-B) =-2 \sin A \sin B \\ \implies \sin A \sin B = -\dfrac{1}{2} \left[ \cos(A+B) - \cos (A-B) \right] $$

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