分数関数の逆関数と二次正方行列の逆行列の形
定理
- 分数関数 $\displaystyle f(x)=\frac { ax+b }{ cx+d }$ の逆関数は $$ f^{ -1 }(x)=\frac { dx-b }{ -cx+a } $$
- 2次 正方行列 $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ の逆行列は $$ \frac { 1 }{ ad-bc } \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix} $$
説明
単なる偶然かもしれないが、そんな偶然を見つけるのも数学の楽しみだ。行列が教科書からなくなったって、まだまだ役に立つ事実ではある。
証明
$$ \begin{align*} & y=\frac { ax+b }{ cx+d } \\ \implies& (cx+d)y=ax+b \\ \implies& (cy+d)x=ay+b \\ \implies& cxy+dx=ay+b \\ \implies& (cx-a)y=-dx+b \\ \implies& y=\frac { -dx+b }{ cx-a } \\ \implies& y=\frac { dx-b }{ -cx+a } \end{align*} $$
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