logo

分数関数の逆関数と二次正方行列の逆行列の形 📂行列代数

分数関数の逆関数と二次正方行列の逆行列の形

定理

  • 分数関数 f(x)=ax+bcx+d\displaystyle f(x)=\frac { ax+b }{ cx+d } の逆関数は f−1(x)=dx−b−cx+a f^{ -1 }(x)=\frac { dx-b }{ -cx+a }
  • 2次 正方行列 [abcd]\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} の逆行列は 1ad−bc[d−b−ca] \frac { 1 }{ ad-bc } \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}

説明

単なる偶然かもしれないが、そんな偶然を見つけるのも数学の楽しみだ。行列が教科書からなくなったって、まだまだ役に立つ事実ではある。

証明

y=ax+bcx+d  ⟹  (cx+d)y=ax+b  ⟹  (cy+d)x=ay+b  ⟹  cxy+dx=ay+b  ⟹  (cx−a)y=−dx+b  ⟹  y=−dx+bcx−a  ⟹  y=dx−b−cx+a \begin{align*} & y=\frac { ax+b }{ cx+d } \\ \implies& (cx+d)y=ax+b \\ \implies& (cy+d)x=ay+b \\ \implies& cxy+dx=ay+b \\ \implies& (cx-a)y=-dx+b \\ \implies& y=\frac { -dx+b }{ cx-a } \\ \implies& y=\frac { dx-b }{ -cx+a } \end{align*}

■